题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,已知点A(-2,0),B(8,0),连接AC,BC.
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)点D是直线BC上方抛物线上的一点,过点D作DE⊥BC,垂足为E,求线段DE的长度最大时,点D的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点P(异于点A,B,C),使?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为,点
的坐标为
;(2)点
的坐标为
;(3)存在点
,使
,点
的坐标为
或
【解析】
(1)把A、B两点的坐标代入,解方程组即可得到抛物线的解析式,令x=0求出y的值,即可得到C的坐标;
(2)如图,过点D作DF//y轴,交BC于F点,则∠DFE=∠BCO,由勾股定理,得到BC的长,由正弦的定义得到DE=DFsin∠DFE=DFsin∠BCO=DF.
求出直线BC的解析式.设,则
,得到DF
,由DE=
DF,配方即可得出结论;
(3)如图,连接PC,PB,PA交OC于M,作PN⊥x轴于N交CB于F.设P(m,),则F(m,
),分两种情况讨论:①若P在x轴上方,表示出PF的长,得到
=
.由相似三角形的判定与性质得到AO:AN=OM:PN,进而得出OM,CM的长,得到
=
.由
,解方程即可得出点P的坐标.
②当P在x轴下方时,类似可得点P的坐标.
(1)把A(-2,0),B(8,0)分别代入y=ax2+bx+4中,得:,解得:
,∴抛物线的解析式为
;
令x=0,得y=4,∴点C的坐标为(0,4).
(2)如图,过点D作DF//y轴,交BC于F点,则∠DFE=∠BCO,C(0,4),B(8,0),∴OC=4,OB=8.
在RtΔOBC中,由勾股定理,得:BC=
,∴sin∠BCO=
,∴在RtΔDEF中,DE=DFsin∠DFE=DFsin∠BCO=
DF.
设直线BC的解析式为y=kx+t,把B(8,0),C(0,4)分别代入,得:,解得:
,∴直线BC的解析式为
;
设,则
,∴DF=
,∴DE=
DF
∵,∴当m=4时,DE的值最大,最大值为
,此时点D的坐标为(4,6).
(3)如图,连接PC,PB,PA交OC于M,作PN⊥x轴于N交CB于F.设P(m,),则F(m,
),分两种情况讨论:①若P在x轴上方,∴PF=
,
=
=
.
∵AO=2,ON=m,∴AN=m+2.
∵MO∥PN,∴△AOM∽△ANP,∴AO:AN=OM:PN,∴2:(m+2)=OM:,∴OM=
,∴CM=CO-OM=
=
,∴
=
=
.
∵,∴
.
∵m≠0,∴m=6.当m=6时,=4,∴点P的坐标为(6,4).
②当P在x轴下方时,类似可得:.
∵m≠0,∴m=.当m=
时,
=
;∴点P的坐标为
.
综上所述:存在点P,使,点P的坐标为(6,4)或
.
