题目内容
【题目】如图，A，B，C，D四点都在OO上，弧AC＝弧BC，连接AB，CD、AD，∠ADC＝45°．
（1）如图1，AB是⊙O的直径；
（2）如图2，过点B作BE⊥CD于点E，点F在弧AC上，连接BF交CD于点G，∠FGC＝2∠BAD，求证：BA平分∠FBE；
（3）如图3，在（2）的条件下，MN与⊙O相切于点M，交EB的延长线于点N，连接AM，若2∠MAD+∠FBA＝135°，MN＝
AB，EN＝26，求线段CD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）34
【解析】
(1)根据直径所对圆周角是直角即可解题;
(2)作辅助线,通过半径相等得到等腰三角形,由已知的∠FGC＝2∠BAD得到B、G、O、D四点共圆，推出∠ODE＝∠OBG即可解题;
(3)作辅助线,通过直径所对圆周角是直角得到∠ACB＝90°,根据2∠MAD+∠FBA＝135°，得到AM＝DM，接着证明△ADR是等腰直角三角形，△ACR≌△CBE（AAS），四边形OEQM是矩形，再△EQN是等腰直角三角形，△OER是等腰直角三角形，最后通过勾股定理即可解题.
解（1）如图1，连接BD．
∵
，
∴∠BDC＝∠ADC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是圆O的直径．
（2）如图2，连接OG、OD、BD．
则OA＝OD＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB，
∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，
∵∠FGC＝2∠BAD，
∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD，
∴B、G、O、D四点共圆，
∴∠ODE＝∠OBG，
∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，
∴∠EBD＝45°＝∠EDB，
∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG，
∴BA平分∠FBE．
（3）如图3，连接AC、BC、CO、DO、EO、BD．
∵AC＝BC，
∴AC＝BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，
延长CO交圆O于点K，则∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA，
连接DM、OM，则∠MOD＝2∠MAD，
∵2∠MAD+∠FBA＝135°，
∴∠MOD+∠FBA＝135°，
∴2∠MOD+2∠FBA＝270°，
∴2∠MOD+∠DOK＝270°，
∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°，
∴∠AOM＝∠DOM，
∴AM＝DM，
连接MO并延长交AD于H，则∠MHA＝∠MHD＝90°，AH＝DH，
设MH与BC交于点R，连接AR，则AR＝DR，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形，
∴∠BRH＝∠ARH＝45°
∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACR＝∠CBE，
∴△ACR≌△CBE（AAS），
∴CR＝BE＝ED，
作EQ⊥MN于Q，则∠EQN＝∠EQM＝90°，
连接OE，则OE垂直平分BD，
∴OE∥AD∥MN，
∴四边形OEQM是矩形，
∴OM＝EQ，OE＝MQ，
延长DB交MN于点P，
∵∠PBN＝∠EBD＝45°，
∴∠BNP＝45°，
∴△EQN是等腰直角三角形，
∴EQ＝QN＝
EN＝13
，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OM═13，AB＝2OA＝26，
∴BC＝OC＝26，
∵MN＝
AB＝20，
∴OE＝MQ＝MN﹣QN＝20﹣13＝7，
∵∠ORE＝45°，∠EOR＝90°，
∴△OER是等腰直角三角形，
∴RE＝OE＝14，
设BE＝CR＝x，则CE＝14+x，
在Rt△CBE中：BC2＝CE2+BE2，
∴262＝（x+14）2+x2，解得x＝10，
∴CD＝CR+RE+DE＝10+14+10＝34．
