题目内容
如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点E是边CD上任意一点(点E与点C、D不重合),过点A作AF⊥AE,交边CB的延长线于点F,联结EF,交边AB于点G,设DE=x,BF=y。
(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)如果AD=BF,求证:△AEF∽△DEA;
(3)当点E在边CD上移动时,△AEG能否成为等腰三角形?如果能,请直接写出线段DE的长;如果不能,请说明理由。
(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)如果AD=BF,求证:△AEF∽△DEA;
(3)当点E在边CD上移动时,△AEG能否成为等腰三角形?如果能,请直接写出线段DE的长;如果不能,请说明理由。
解:(1)在矩形ABCD中,∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AD=BC=3,
即得∠D=∠ABF,
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=∠BAD=90°,
又∵∠EAF=∠BAF+∠BAE,∠BAD=∠DAE+∠BAE,
∴∠DAE=∠BAF,
于是,由∠D=∠ABF,∠DAE=∠BAF,
得△DAE∽△BAF,
∴,
由DE=x,BF=y,得,
即得,
∴y关于x的函数解析式是,0<x<4;
(2)∵AD=BF,AD=BC,
∴BF=BC,
在矩形ABCD中,AB∥CD,
∴=1,
即得FG=EG,
于是,由∠EAF=90°,得AG=FG,
∴∠FAG=∠AFG,
∴∠AFE=∠DAE,
于是,由∠EAF=∠D,∠AFE=∠DAE,得△AEF∽△DEA;
(3)当点E在边CD上移动时,△AEG能成为等腰三角形,
此时,①当AG=EG时,DE=;
②当AE=GE时,DE=;
③当AG=AE时,DE=。
即得∠D=∠ABF,
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=∠BAD=90°,
又∵∠EAF=∠BAF+∠BAE,∠BAD=∠DAE+∠BAE,
∴∠DAE=∠BAF,
于是,由∠D=∠ABF,∠DAE=∠BAF,
得△DAE∽△BAF,
∴,
由DE=x,BF=y,得,
即得,
∴y关于x的函数解析式是,0<x<4;
(2)∵AD=BF,AD=BC,
∴BF=BC,
在矩形ABCD中,AB∥CD,
∴=1,
即得FG=EG,
于是,由∠EAF=90°,得AG=FG,
∴∠FAG=∠AFG,
∴∠AFE=∠DAE,
于是,由∠EAF=∠D,∠AFE=∠DAE,得△AEF∽△DEA;
(3)当点E在边CD上移动时,△AEG能成为等腰三角形,
此时,①当AG=EG时,DE=;
②当AE=GE时,DE=;
③当AG=AE时,DE=。
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