Question

【题目】已知，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA、PB、PC。

(1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P’CB的位置（如图1）。

①设AB的长为a，PB的长为b(b＜a)，求△PAB旋转到△P’CB的过程中边PA所扫过区域的面积；

②若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长。

(2)如图2，在(1)的条件下，若PA2＋PC2＝2PB2，请说明点P必在对角线AC上。

Answer 1

【答案】（1）①②6；（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠＝90°，再证∠BPC＋∠APB＝180°，即点P在对角线AC上．

【解析】试题分析：（1）①△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形OAC与小扇形BPP′的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度；

②连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；

（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠＝90°，再证∠BPC＋∠APB＝180°，即点P在对角线AC上．

②连接PP′

根据旋转的性质可知：

BP=BP′，∠PBP′=90°；

即：△PBP′为等腰直角三角形，

∴∠BPP′=45°，

∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°，

∴∠BPA+∠BPP′=180°，

即A、P、P′共线，

∴∠PP′C=135°-45°=90°；

在Rt△PP′C中，PP′=4，P′C=PA=2，根据勾股定理可得PC=6．

（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．

同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′2=2PB2；

∵PA2+PC2=2PB2=PP′2，

∴PC2+P′C2=PP′2，

∴∠P′CP=90°；

∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；

∵∠BPA=∠BP′C，

∴∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．