已知:二次函数y=x2+x+m2-mn．(1)求证:此二次函数与x轴有交点,(2)若m-1=0.求证方程x2+x+m2-mn=0有一个实数根为1,的条件下.设方程x2+x+m2-mn=0的另一根为a.当x=2时.关于n 的函数y1=nx+am与y2=x2+ax+m2-mn的图象交于点A.B.平行于y轴的直线L与y1=nx+am.y2=x2+ax+m2-mn的图象� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

23、已知：二次函数y=x²+（n-2m）x+m²-mn．
（1）求证：此二次函数与x轴有交点；
（2）若m-1=0，求证方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0有一个实数根为1；
（3）在（2）的条件下，设方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0的另一根为a，当x=2时，关于n 的函数y₁=nx+am与y₂=x²+（n-2m）ax+m²-mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y₁=nx+am、y₂=x²+（n-2m）ax+m²-mn的图象分别交于点C、D，若
CD=6，求点C、D的坐标．

分析：（1）首先令y=0，则有x²+（n-2m）x+m²-mn=0，，再根据判别式判断此方程根的情况，即可证得此二次函数与x轴有交点；
（2）由m-1=0，即可求得m的值，将m的值代入原方程求解，可求得一根为1，或将m=1代入方程，可得方程左右两边相等，则可证得方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0有一个实数根为1；
（3）由方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0的根是：x₁=1，x₂=1-n，可得a=1-n，又由当x=2时，y₁=n+1，y₂=-2n²+5n+1，设点C（b，b+1），又由CD=6，即可求得b的值，则问题得解．

解答：解：（1）证明：令y=0，则有x²+（n-2m）x+m²-mn=0，
∵△=（n-2m）²-4（m²-mn）=n²，
∵n²≥0，
∴△≥0，
∴二次函数y=x²+（n-2m）x+m²-mn与x轴有交点；

（2）解：解法一：由m-1=0，得m=1，
∴方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0可化为x²+（n-2）x+1-n=0，
解得：x=1或x=1-n，
∴方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0有一个实数根为1；
解法二：由m-1=0得m=1，
∴方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0可化为x²+（n-2）x+1-n=0，
当x=1时，方程左边=1+（n-2）+1-n=0，方程右边=0，
∴左边=右边，
∴方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0有一个实数根为1；

（3）解：方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0的根是：x₁=1，x₂=1-n，
∴a=1-n，
当x=2时，y₁=n+1，y₂=-2n²+5n+1，
设点C（b，b+1），
则点D（b，-2b²+5b+1），
∵CD=6，
∴b+1-（-2b²+5b+1）=6或-2b²+5b+1-（b+1）=6，
∴b=3或b=-1，
∴C、D两点的坐标分别为C（3，4），D（3，-2）或C（-1，0），D（-1，-6）．

点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，判别式以及两点间的距离等知识．此题综合性较强，解题的关键是注意方程思想的应用．