Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2．

（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；
（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值；
（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？

Answer 1

（1）D（8，4），0＜t＜4；（2）不变化；（3）t=（6﹣2）

试题分析：（1）先求出t=2秒时OP、CQ的长，在Rt△PCQ中，由勾股定理可求得PC的长，从而得到OC的长，再根据矩形的性质即可得到点D的坐标，根据点P、点Q到达终点所需时间即得t的取值范围；
（2）先根据矩形的性质证得△AQD∽△EQC，再根据相似三角形的性质表示出CE的长，由翻折变换的性质可知DF=DQ=4﹣t，即可得到CF=CD+DF=8﹣t，再根据S=S_梯形AOCF+S_△FCE﹣S_△AOE即可得到结果；
（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF，即得△CPQ∽△DAF，再根据相似三角形的性质即可求得t的值，再结合（1）中＜t＜4即可得到结果.
（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，
∴OC=OP+PC=4+4=8
又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．
点P到达终点所需时间为=4秒，点Q到达终点所需时间为=4秒，
由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4；
（2）结论：△AEF的面积S不变化．
∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，
∴，即，解得CE=．
由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4﹣t，则CF=CD+DF=8﹣t．
S=S_梯形AOCF+S_△FCE﹣S_△AOE=（OA+CF）•OC+CF•CE﹣OA•OE=×8+（8﹣t）•﹣×4×（8+）
化简得S=32为定值．所以△AEF的面积S不变化，S=32；
（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF．
由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，
∴，即，
化简得t²﹣12t+16=0，
解得：t₁=6+2，t₂=6﹣2，
由（1）可知，0＜t＜4，
∴t₁=6+2不符合题意，舍去．
∴当t=（6﹣2）秒时，四边形APQF是梯形．
点评：动点的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般压轴题形式出现，难度较大.