Question

【题目】如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若AB=13，BC=10，求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结AD，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∴D为BC的中点，

∴BD=CD，

∴AB=AC；

（2）证明：连结OD，如图，

∵OA=OB，DB=DC，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（3）解：BD= BC=5，AC=AB=13，

∵∠DCE=∠ACD，

∴△CDE∽△CAD，

∴ = ，即 = ，

∴CE= ．

【解析】（1）连结AD，如图，由圆周角定理得到∠ADB=90°，则AD⊥BC，加上BD=CD，即AD垂直平分BC，所以AB=AC；（2）连结OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线，根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，所以OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE是⊙O的切线；（3）易得BD= BC=5，AC=AB=13，接着证明△CDE∽△CAD，然后根据相似比可计算出CE．