题目内容
如图所示，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°．（1）用尺规作图：做线段AB的垂直平分线l，垂足为H．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设直线l交AC于D，求证：AD•AB=AH•AC．
分析：（1）分别以A为端点，以大于AB/2长为半径，在线段两侧分别作弧；再以B为端点，仍以大于AB/2长为半径，在线段两侧分别作弧，并与已作两弧交于两点，过两点作一条直线，则为线段AB的垂直平分线；
（2）根据HD是AB的垂直平分线知，AH=BH，HD⊥AB，所以AH=
AB，HD是直角三角形ABC的中位线，利用中位线定理求得HD=
BC，∠AHD=∠ABC=90°从而证明△AHD∽△ABC（SAS）；最后由相似三角形的对应边成比例来证明AD•AB=AH•AC．
（2）根据HD是AB的垂直平分线知，AH=BH，HD⊥AB，所以AH=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）AH=BH，HD⊥AB；
（2）证明：∵HD⊥AB，∠ABC=90°，
∴HD∥BC；
又∵AH=BH，
∴
=
=
；
在△AHD与△ABC中，
=
，
∠AHD=∠ABC=90°，
∴△AHD∽△ABC（SAS），
∴
=
（相似三角形的对应边成比例），
∴AD•AB=AH•AC．
解：（1）AH=BH，HD⊥AB；（2）证明：∵HD⊥AB，∠ABC=90°，
∴HD∥BC；
又∵AH=BH，
∴
| AH |
| AB |
| HD |
| BC |
| 1 |
| 2 |
在△AHD与△ABC中，
| AH |
| AB |
| HD |
| BC |
∠AHD=∠ABC=90°，
∴△AHD∽△ABC（SAS），
∴
| AD |
| AC |
| AH |
| AB |
∴AD•AB=AH•AC．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质．解答此题时，利用了三角形的中位线定理、线段的垂直平分线的性质．
练习册系列答案
相关题目
AE=120°，试问：
如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（ ）A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、80%＜
| ||||||
D、78%＜
|
附加题．观察计算
如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于D，CD交BF于点G，GE∥CA，求证：CE与FG互相垂直平分．
如图所示的△ABC为等边三角形，边长为2，D为BC中点，△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，则BE=