题目内容
附加题．观察计算当a=5，b=3时，
| a+b |
| 2 |
| ab |
＞
＞
．当a=4，b=4时，
| a+b |
| 2 |
| ab |
=
=
．●探究证明
如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD⊥AB于D，设AD=a，BD=b．
（1）分别用a，b表示线段OC，CD；
（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．
●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出
| a+b |
| 2 |
| ab |
| a+b |
| 2 |
| ab |
| a+b |
| 2 |
| ab |
分析：观察计算：将a、b的值分别代入已知代数式并求值，然后比较
与
的大小；
探究证明：（1）求出∠ADC=∠BDC=90°，∠CAB=∠BCD，证△ADC∽△CDB，得出
=
，代入即可求出CD，求出AB，即可求出OC；
（2）分为两种情况：当O和D不重合时得出
＞
，当O和D重合时得出
=
，即可得出答案
≥
．
| a+b |
| 2 |
| ab |
探究证明：（1）求出∠ADC=∠BDC=90°，∠CAB=∠BCD，证△ADC∽△CDB，得出
| CD |
| DB |
| AD |
| CD |
（2）分为两种情况：当O和D不重合时得出
| a+b |
| 2 |
| ab |
| a+b |
| 2 |
| ab |
| a+b |
| 2 |
| ab |
解答：解：观察计算：
当a=5，b=3时，
=
=4，
=
=
．
∵4＞
，
∴
＞
；
当a=4，b=4时，
=
=4，
=
=4，
∵4=4，
∴
=
；
故答案是：＞，=；
●探究证明：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠CBA+∠BCD=90°，∠CBA+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴
=
，即
=
，CD=
，
∵AB=AD+BD=a+b，
AB是⊙O直径，
∴半径OC=
AB=
；
即OC=
，CD=
；
（2）∵当D和O不重合时，如图，在Rt△OCD中，OC＞CD，即
＞
；
当D和O重合时，OC=CD，即
=
；
∴OC与CD表达式之间存在的数量关系是：
≥
．
●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出：
≥
（当a=b时，取“=”）．
当a=5，b=3时，
| a+b |
| 2 |
| 5+3 |
| 2 |
| ab |
| 3×5 |
| 15 |
∵4＞
| 15 |
∴
| a+b |
| 2 |
| ab |
当a=4，b=4时，
| a+b |
| 2 |
| 4+4 |
| 2 |
| ab |
| 4×4 |
∵4=4，
∴
| a+b |
| 2 |
| ab |
故答案是：＞，=；
●探究证明：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠CBA+∠BCD=90°，∠CBA+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴
| CD |
| DB |
| AD |
| CD |
| CD |
| b |
| a |
| CD |
| ab |
∵AB=AD+BD=a+b，
AB是⊙O直径，
∴半径OC=
| 1 |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
即OC=
| a+b |
| 2 |
| ab |
（2）∵当D和O不重合时，如图，在Rt△OCD中，OC＞CD，即
| a+b |
| 2 |
| ab |
当D和O重合时，OC=CD，即
| a+b |
| 2 |
| ab |
∴OC与CD表达式之间存在的数量关系是：
| a+b |
| 2 |
| ab |
●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出：
| a+b |
| 2 |
| ab |
点评：本题考查了勾股定理和相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
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