题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=﹣ x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C,D同时出发,当动点D到达原点O时,点C,D停止运动.
(1)直接写出抛物线的解析式:;
(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大?最大面积是多少?
(3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)y=﹣ x2+3x+8
(2)
解:∵点A(0,8)、B(8,0),
∴OA=8,OB=8,
令y=0,得:﹣ x2+3x+8=0,
解得:x1=8,x2=﹣2,
∵点E在x轴的负半轴上,
∴点E(﹣2,0),
∴OE=2,
根据题意得:当D点运动t秒时,BD=t,OC=t,
∴OD=8﹣t,
∴DE=OE+OD=10﹣t,
∴S= DEOC= (10﹣t)t=﹣ t2+5t,
即S=﹣ t2+5t=﹣ (t﹣5)2+ ,
∴当t=5时,S最大=
(3)
解:方法一:
由(2)知:当t=5时,S最大= ,
∴当t=5时,OC=5,OD=3,
∴C(0,5),D(3,0),
由勾股定理得:CD= ,
设直线CD的解析式为:y=kx+b,
将C(0,5),D(3,0),代入上式得:
k=﹣ ,b=5,
∴直线CD的解析式为:y=﹣ x+5,
过E点作EF∥CD,交抛物线与点P,如图1,
设直线EF的解析式为:y=﹣ x+b,
将E(﹣2,0)代入得:b=﹣ ,
∴直线EF的解析式为:y=﹣ x﹣ ,
将y=﹣ x﹣ ,与y=﹣ x2+3x+8联立成方程组得:
,
解得: , ,
∴P( ,﹣ );
过点E作EG⊥CD,垂足为G,
∵当t=5时,S△ECD= = ,
∴EG= ,
过点D作DN⊥CD,垂足为N,且使DN= ,过点N作NM⊥x轴,垂足为M,如图2,
可得△EGD∽△DMN,
∴ ,
即: ,
解得:DM= ,
∴OM= ,
由勾股定理得:MN= = ,
∴N( , ),
过点N作NH∥CD,与抛物线交与点P,如图2,
设直线NH的解析式为:y=﹣ x+b,
将N( , ),代入上式得:b= ,
∴直线NH的解析式为:y=﹣ x+ ,
将y=﹣ x+ ,与y=﹣ x2+3x+8联立成方程组得:
,
解得: , ,
∴P(8,0)或P( , ),
综上所述:当△CED的面积最大时,在抛物线上存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积,点P的坐标为:P( ,﹣ )或P(8,0)或P( , ).
方法二:
由(2)知,C(0,5),D(3,0),∴lCD:y=﹣ x+5,
作PH⊥x轴,交CD于点H,
∵P在抛物线上,∴设P(6m,﹣18m2+18m+8),
∴H(6m,﹣10m+5),C(0,5),D(3,0),
S△PCD= |(DX﹣CX)(PY﹣HY)|,
∵S△CED= ,
∴ ,
∴3×|18m2﹣28m﹣3|=25,
①3×(18m2﹣28m﹣3)=25,
∴m1=﹣ ,m2= ,
∴6m1=﹣2(舍),6m2= ,
②3×(18m2﹣28m﹣3)=﹣25,
∴m1= ,m2= ,
∴6m1=8,6m2= ,
综上所述,点P的坐标为:P( ,﹣ )或P(8,0)或P( , )
【解析】解:(1)将点A(0,8)、B(8,0)代入抛物线y=﹣ x2+bx+c得: ,
解得:b=3,c=8,
∴抛物线的解析式为:y=﹣ x2+3x+8,
所以答案是:y=﹣ x2+3x+8;
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点,需要掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能正确解答此题.