题目内容

【题目】如图,已知抛物线y=﹣ x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C,D同时出发,当动点D到达原点O时,点C,D停止运动.

(1)直接写出抛物线的解析式:
(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大?最大面积是多少?
(3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)y=﹣ x2+3x+8
(2)

解:∵点A(0,8)、B(8,0),

∴OA=8,OB=8,

令y=0,得:﹣ x2+3x+8=0,

解得:x1=8,x2=﹣2,

∵点E在x轴的负半轴上,

∴点E(﹣2,0),

∴OE=2,

根据题意得:当D点运动t秒时,BD=t,OC=t,

∴OD=8﹣t,

∴DE=OE+OD=10﹣t,

∴S= DEOC= (10﹣t)t=﹣ t2+5t,

即S=﹣ t2+5t=﹣ (t﹣5)2+

∴当t=5时,S最大=


(3)

解:方法一:

由(2)知:当t=5时,S最大=

∴当t=5时,OC=5,OD=3,

∴C(0,5),D(3,0),

由勾股定理得:CD=

设直线CD的解析式为:y=kx+b,

将C(0,5),D(3,0),代入上式得:

k=﹣ ,b=5,

∴直线CD的解析式为:y=﹣ x+5,

过E点作EF∥CD,交抛物线与点P,如图1,

设直线EF的解析式为:y=﹣ x+b,

将E(﹣2,0)代入得:b=﹣

∴直线EF的解析式为:y=﹣ x﹣

将y=﹣ x﹣ ,与y=﹣ x2+3x+8联立成方程组得:

解得:

∴P( ,﹣ );

过点E作EG⊥CD,垂足为G,

∵当t=5时,SECD= =

∴EG=

过点D作DN⊥CD,垂足为N,且使DN= ,过点N作NM⊥x轴,垂足为M,如图2,

可得△EGD∽△DMN,

即:

解得:DM=

∴OM=

由勾股定理得:MN= =

∴N( ),

过点N作NH∥CD,与抛物线交与点P,如图2,

设直线NH的解析式为:y=﹣ x+b,

将N( ),代入上式得:b=

∴直线NH的解析式为:y=﹣ x+

将y=﹣ x+ ,与y=﹣ x2+3x+8联立成方程组得:

解得:

∴P(8,0)或P( ),

综上所述:当△CED的面积最大时,在抛物线上存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积,点P的坐标为:P( ,﹣ )或P(8,0)或P( ).

方法二:

由(2)知,C(0,5),D(3,0),∴lCD:y=﹣ x+5,

作PH⊥x轴,交CD于点H,

∵P在抛物线上,∴设P(6m,﹣18m2+18m+8),

∴H(6m,﹣10m+5),C(0,5),D(3,0),

SPCD= |(DX﹣CX)(PY﹣HY)|,

∵SCED=

∴3×|18m2﹣28m﹣3|=25,

①3×(18m2﹣28m﹣3)=25,

∴m1=﹣ ,m2=

∴6m1=﹣2(舍),6m2=

②3×(18m2﹣28m﹣3)=﹣25,

∴m1= ,m2=

∴6m1=8,6m2=

综上所述,点P的坐标为:P( ,﹣ )或P(8,0)或P(


【解析】解:(1)将点A(0,8)、B(8,0)代入抛物线y=﹣ x2+bx+c得:
解得:b=3,c=8,
∴抛物线的解析式为:y=﹣ x2+3x+8,
所以答案是:y=﹣ x2+3x+8;
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点,需要掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能正确解答此题.

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