题目内容
【题目】如图，已知抛物线y=﹣ 
x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C，D同时出发，当动点D到达原点O时，点C，D停止运动．
（1）直接写出抛物线的解析式：；
（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）y=﹣ 
x2+3x+8
（2）
解：∵点A（0，8）、B（8，0），
∴OA=8，OB=8，
令y=0，得：﹣ x2+3x+8=0，
解得：x1=8，x2=﹣2，
∵点E在x轴的负半轴上，
∴点E（﹣2，0），
∴OE=2，
根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，
∴OD=8﹣t，
∴DE=OE+OD=10﹣t，
∴S= DEOC= （10﹣t）t=﹣ t2+5t，
即S=﹣ t2+5t=﹣ （t﹣5）2+ 
，
∴当t=5时，S最大=
（3）
解：方法一：
由（2）知：当t=5时，S最大= ，
∴当t=5时，OC=5，OD=3，
∴C（0，5），D（3，0），
由勾股定理得：CD= 
，
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
将C（0，5），D（3，0），代入上式得：
k=﹣ 
，b=5，
∴直线CD的解析式为：y=﹣ x+5，
过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，如图1，
设直线EF的解析式为：y=﹣ x+b，
将E（﹣2，0）代入得：b=﹣ 
，
∴直线EF的解析式为：y=﹣ x﹣ ，
将y=﹣ x﹣ ，与y=﹣ x2+3x+8联立成方程组得：
，
解得： 
， 
，
∴P（ 
，﹣ 
）；
过点E作EG⊥CD，垂足为G，
∵当t=5时，S△ECD= 
= ，
∴EG= 
，
过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN= ，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，如图2，
可得△EGD∽△DMN，
∴ 
，
即： 
，
解得：DM= 
，
∴OM= 
，
由勾股定理得：MN= 
= 
，
∴N（ ， ），
过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，如图2，
设直线NH的解析式为：y=﹣ x+b，
将N（ ， ），代入上式得：b= 
，
∴直线NH的解析式为：y=﹣ x+ ，
将y=﹣ x+ ，与y=﹣ x2+3x+8联立成方程组得：
，
解得： 
， 
，
∴P（8，0）或P（ 
， 
），
综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（ ，﹣ ）或P（8，0）或P（ ， ）．
方法二：
由（2）知，C（0，5），D（3，0），∴lCD：y=﹣ x+5，
作PH⊥x轴，交CD于点H，
∵P在抛物线上，∴设P（6m，﹣18m2+18m+8），
∴H（6m，﹣10m+5），C（0，5），D（3，0），
S△PCD= |（DX﹣CX）（PY﹣HY）|，
∵S△CED= ，
∴ 
，
∴3×|18m2﹣28m﹣3|=25，
①3×（18m2﹣28m﹣3）=25，
∴m1=﹣ 
，m2= 
，
∴6m1=﹣2（舍），6m2= ，
②3×（18m2﹣28m﹣3）=﹣25，
∴m1= ，m2= 
，
∴6m1=8，6m2= ，
综上所述，点P的坐标为：P（ ，﹣ ）或P（8，0）或P（ ， ）
【解析】解：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣ x2+bx+c得： 
，
解得：b=3，c=8，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+3x+8，
所以答案是：y=﹣ x2+3x+8；
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．
