Question

【题目】如图1，矩形ABCD的顶点A（6，0），B（0，8），AB=2BC，直线y=﹣x+m（m≥13）交坐标轴于M，N两点，将矩形ABCD沿直线y=﹣x+m（m≥13）翻折后得到矩形A′B′C′D′．

（1）求点C的坐标和tan∠OMN的值；

（2）如图2，直线y=﹣x+m过点C，求证：四边形BMB′C是菱形；

（3）如图1，在直线y=﹣x+m（m≥13）平移的过程中．

①求证：B′C′∥y轴；

②若矩形A′B′C′D′的边与直线y=﹣x+43有交点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2，（2）详见解析；（3）详见解析， ≤m≤．

【解析】

（1）首先利用勾股定理求得AB的长，然后证明△AOB∽△BEC，根据相似三角形的对应边的比相等求得BE的长，则OE长即可求得，从而求得C的坐标；

（2）利用待定系数法求得m的值，求得BM的长，根据四边相等的四边形是菱形即可证得；

（3）①如图3，连接BB′，同理若延长B'C'和BC交于点I，则I在MN上，过C作EQ∥MN，作出CB关于EQ的对称线段CG，则EQ就是（2）中的MN，证明B'C'∥CG即可；

②过B′作B′F⊥y轴于点F，设B′F=a，则BF=2a，设BM=B′M=b，则MF=2a﹣b，在直角△B′FM中利用勾股定理求得a和b的比值，MF和B′F即可利用m表示出来，A′和C′坐标即可求得，代入直线y=﹣x+43求得m的值，从而确定m的范围．

（1）∵A（6，0），B（0，8），

∴OA=6，OB=8，

∴AB==10，

∴BC=AB=5，

如图1，过C作CE⊥y轴于点E，

∴∠BOA=∠CEB=90°，

又∵∠BAO+∠ABO=∠EBC+∠ABO=90°，

∴∠BAO=∠EBC，

∴△AOB∽△BEC，

∴=2，

∴BE=3，CE=4，

∴OE=BE﹣OB=11，

∴点C的坐标是（4，11），

当x=0时，OM=m，当y=0时，ON=2m，

∴tan∠OMN=2；

（2）如图2，由题意得：BM=B'M，BC=B′C．

∵直线y=﹣x+m过点C（4，11），

∴11=﹣2+m，

解得：m=13，

∴BM=13﹣8=5，

∴B'M=BM=BC=B'C=5，

∴四边形BMB′C是菱形；

（3）①如图3，连接BB′，同理若延长B'C'和BC交于点I，则I在MN上，

过C作EQ∥MN，作出CB关于EQ的对称线段CG，

则EQ就是（2）中的MN，

根据（2）可得CG∥BM，且∠BCE=∠MCG，

∵MN∥EQ，

∴∠BCE=∠CIM，

又∵∠CIM=∠MIB'，

∴∠BCG=∠CIB'，

∴B'C'∥BM，

即B′C′∥y轴．

②如图3，过B′作B′F⊥y轴于点F，

∵BB′⊥MN，

∴tan∠MBB′=，

∴BF=2B′F，

设B′F=a，则BF=2a，设BM=B′M=b，则MF=2a﹣b，

在直角△B′FM中，a2+（2a﹣b）2=b2，

解得：a：b=4：5，

∴MF：B′F：B′M=3：4：5，

∵B′M=BM=m﹣8，

∴MF=（m﹣8），B′F=（m﹣8），

则OF=OB+BF=8+2a=8+2B'F=8+2×（m-8）=，

A'F=B’F+A'B'=（m﹣8）+10=，

∴A′坐标是（，），

C'的纵坐标是OF﹣B'C'=﹣5=，

则C′的坐标是：（，），

当点A′在直线y=﹣x+43上时，m=，

当点C′在直线y=﹣x+43上时，m=，

∴则m的取值范围是≤m≤．