如图.已知四边形ABCD.过它的四个顶点分别作对角线AC.BD的平行线.围成的四边形EFGH(1)四边形EFGH是什么特殊四边形?请证明你的判断,(2)当四边形ABCD是等腰梯形时.相应的四边形EFGH一定是“矩形.菱形.正方形中的哪一种?证明你的结论,(3)要使四边形EFGH是矩形.则原四边形ABCD必须满足怎样的条件?(只要写出必要的条件.不需证明)小题后.你� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，已知四边形ABCD，过它的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，围成的四边形EFGH
（1）四边形EFGH是什么特殊四边形？请证明你的判断；
（2）当四边形ABCD是等腰梯形时，相应的四边形EFGH一定是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种？证明你的结论；
（3）要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足怎样的条件？（只要写出必要的条件，不需证明）
（4）解决了（1）、（2）、（3）小题后，你还有哪些发现？（至少写一条）

分析：（1）根据条件证明四边形EFGH的两组对边平行即可；
（2）根据等腰梯形，矩形，菱形，正方形的性质和判定方法分别证明即可；
（3）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得EFGH为平行四边形，再加上条件AC⊥BD，可证明∠E=90°，继而得到答案；
（4）写一个自己认为正确的结论即可，答案不唯一．

解答：（1）当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形．
证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．

（2）①四边形ABCD是等腰梯形时，四边形EFGH为矩形，
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH为矩形；

②若ABCD为矩形，则EFGH为菱形．
证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．
∴四边形EACF，ACGH，EHDB，BDGF，EFGH均为平行四边形．
∴EF=AC=HG，EH=BD=GF．
∵四边形ABCD为矩形．
∴AC=BD．
∴EF=AC=HG=EH=BD=GF．
∴四边形EFGH为菱形．

③若ABCD为菱形，四边形EFGH为矩形．
证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．
∴四边形EAOB，EFGH均为平行四边形，
∴∠AOB=∠E，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥DB，
∴∠AOB=90°，
∴∠E=90°，
∴四边形EFGH为矩形；

④若ABCD为正方形，四边形EFGH为正方形，
证明：∵ABCD为正方形，
∴DB=AC，AC⊥BD，
∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．

∴四边形EACF，ACGH，EHDB，BDGF，EFGH均为平行四边形．
∴EF=AC=HG，EH=BD=GF．
∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．
∴四边形EFGH为菱形，
∴AC⊥DB，
∴∠AOB=90°，
∴∠E=90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∴四边形EFGH为正方形；

（3）当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必须满足：对角线互相垂直．

（4）当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必须满足：对角线相等．

点评：此题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质和判定，关键是熟练掌握特殊四边形的判定与性质定理．