题目内容
在直角坐标系xOy中,设点A(0,t),点Q(t,b)(t,b均为非零常数),平移二次函数y=-tx2的图象,得到的抛物线F满足两个条件:①顶点为Q;②与x轴相交于B,C两点(|OB|<|OC|),连接AB。
(1)是否存在这样的抛物线F,使得|OA|2=|OB|·|OC|?请你作出判断,并说明理由;
(2)如果AQ∥BC,且tan∠ABO=,求抛物线F对应的二次函数的解析式。
(2)如果AQ∥BC,且tan∠ABO=,求抛物线F对应的二次函数的解析式。
解:(1)∵平移y=-tx2的图象得到的抛物线F的顶点为Q,
∴抛物线F对应的解析式为:y=-t(x-t)2+b,
∵抛物线与x轴有两个交点,∴tb>0,令y=0,得OB=,OC=,
∴|OB|·|OC|=,即,
所以当b=2t3时,存在抛物线F使得|OA|2=|OB|·|OC|;
(2)∵AQ∥BC,
∴t=b,得F:y=-t(x-t)2+t,
解得x1=t-1,x2=t+1,
在Rt△AOB中,①当t>0时,由|OB|<|OC|,得B(t-1,0),
当t-1>0时,由tan∠ABO=,解得t=3,
此时,二次函数解析式为y=-3x2+18x-24;
当t-1<0时,由tan∠ABO=,解得t=,
此时,二次函数解析式为;
②当t<0时,由|OB|<|OC|,将-t代t,可得t=-,t=-3,
所以二次函数的解析式为或。
∴抛物线F对应的解析式为:y=-t(x-t)2+b,
∵抛物线与x轴有两个交点,∴tb>0,令y=0,得OB=,OC=,
∴|OB|·|OC|=,即,
所以当b=2t3时,存在抛物线F使得|OA|2=|OB|·|OC|;
(2)∵AQ∥BC,
∴t=b,得F:y=-t(x-t)2+t,
解得x1=t-1,x2=t+1,
在Rt△AOB中,①当t>0时,由|OB|<|OC|,得B(t-1,0),
当t-1>0时,由tan∠ABO=,解得t=3,
此时,二次函数解析式为y=-3x2+18x-24;
当t-1<0时,由tan∠ABO=,解得t=,
此时,二次函数解析式为;
②当t<0时,由|OB|<|OC|,将-t代t,可得t=-,t=-3,
所以二次函数的解析式为或。
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