Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点C的坐标是（4，0）．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A______，B______；
（2）若E是BC上一点且∠AEB=60°，沿AE折叠正方形ABCO，折叠后点B落在平面内点F处，请画出点F并求出它的坐标；
（3）若E是直线BC上任意一点，问是否存在这样的点E，使正方形ABCO沿AE折叠后，点B恰好落在x轴上的某一点P处？若存在，请写出此时点P与点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）A（0，4），B（4，4）；

（2）如图，过点F分别作FG⊥x轴于点G，作FH⊥y轴于点H
∵∠AEF=∠AEB=60°，
∴∠HAF=∠FAE=∠BAE=30°
在Rt△AHF中，HF=AF=×4=2，
AH=AFsin60°=4×=2
即OH=4-2
因此F（2，4-2）．

（3）存在．
P（0，0），E（4，0）．
分析：（1）根据正方形的性质可得点的坐标．
（2）折叠问题，实际上就是轴对称，可知△AEF≌△AEB，由于∠AEB=60°，∠B=90°，∴∠BAE=30°，∠BAF=2∠BAE=60°，∠AFH=60°，AF=AB=4，解直角△AFH，求出FH，FG，可表示点F的坐标．
（3）根据轴对称的性质可知存在．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等，通过解直角三角形，求点F的坐标．