题目内容
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标为（0，-3），B是射线CO上的一个动点，经过B点的直线交x轴于点A（直线AB总有经过第二、四象限），且OA=2OB，动点P在直线AB上，设点P的纵坐标为m，线段CB的长度为t．（1）当t=7，且点P在第一象限时，连接PC交x轴于点D．
①直接写出直线AB的解析式；
②当CD=PD时，求m的值；
③求△ACP的面积S．（用含m的代数式表示）
（2）是否同时存在m、t，使得由A、C、O、P为顶点组成的四边形是等腰梯形？若存在，请求出所有满足要求的m、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）①当t=7时，即CB=7，由OC=3，OA=2OB求出A，B两点的坐标，再设直线AB的解析式为y=kx+b，将A，B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
②过P作PH⊥OA于H，当CD=PD时，根据AAS可得△COD≌△PHD，则PH=OC，即m=3；
③先由PH∥OB，得△APH∽△ABO，根据相似三角形对应边成比例得出
=
，求出AH=2m，则OH=8-2m，再根据三角形面积公式得出S△BCP=28-7m，则S=S△ABC-S△BCP=7m；
（2）由于B是射线CO上的一个动点，所以根据B点的不同位置分两种情况进行讨论：①点B运动在y轴的正半轴上；②点B运动在OC上．又动点P在直线AB上，直线AB总有经过第二、四象限，所以在每一种情况下，P点所在的位置又有三种可能的情况：①点P分别在第一、二、四象限；②点P分别在第二、三、四象限．
解答：解：（1）①当t=7时，CB=7，
∵OC=3，
∴OB=CB-OC=7-3=4，
∴OA=2OB=8，
∴A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，4）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则
，解得
，
∴直线AB的解析式为y=-
x+4；
②如图，过P作PH⊥OA于H．
在△COD与△PHD中，
，
∴△COD≌△PHD，
∴CO=PH，
∴m=3；
③∵PH∥OB，
∴△APH∽△ABO，
∴
=
，
=
，
∴AH=2m，OH=8-2m，
∴S△BCP=
×7×（8-2m）=28-7m，
∴S=S△ABC-S△BCP=28-（28-7m）=7m；
（2）①当点B运动在y轴的正半轴上时．
a、当点P在第一象限时，如图1，若四边形OCAP是等腰梯形，则PA=OC=3．
∵∠AHP=90°，OA=2OB，
∴PH=PA•sin∠PAH=3×
=
，即m1=
．
∵∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC=t．
在Rt△AOB中，AB=
OB，即t=
（t-3），
∴t1=
=
；
b、当点P在第二象限时，如图2，四边形AOPC为凹四边形，不可能为等腰梯形；
c、当点P在第四象限时，如图3，四边形AOPC中有一个角为直角，不可能为等腰梯形；
②当点B运动在OC上时．
a、当点P在第二象限时，如图4，四边形OACP为凹四边形，不可能为等腰梯形；
b、当点P在第三象限时，如图5，四边形OACP为凹四边形，不可能为等腰梯形；
c、当点P在第四象限时，如图6，若四边形OACP为等腰梯形，则AP=OC=3，
∵∠AHP=90°，OA=2OB，
∴PH=PA•sin∠PAH=3×
=
，即m2=-
．
∵∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC=t．
在Rt△AOB中，AB=
OB，即t=
（3-t），
∴t2=
=
．
综上所述，满足要求的m、t的值分别为
或
．
点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形的面积，等腰梯形的性质，锐角三角函数，综合性较强，难度较大．运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
②过P作PH⊥OA于H，当CD=PD时，根据AAS可得△COD≌△PHD，则PH=OC，即m=3；
③先由PH∥OB，得△APH∽△ABO，根据相似三角形对应边成比例得出
=，求出AH=2m，则OH=8-2m，再根据三角形面积公式得出S△BCP=28-7m，则S=S△ABC-S△BCP=7m；（2）由于B是射线CO上的一个动点，所以根据B点的不同位置分两种情况进行讨论：①点B运动在y轴的正半轴上；②点B运动在OC上．又动点P在直线AB上，直线AB总有经过第二、四象限，所以在每一种情况下，P点所在的位置又有三种可能的情况：①点P分别在第一、二、四象限；②点P分别在第二、三、四象限．
解答：解：（1）①当t=7时，CB=7，
∵OC=3，
∴OB=CB-OC=7-3=4，
∴OA=2OB=8，
∴A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，4）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则，解得，∴直线AB的解析式为y=-
x+4；②如图，过P作PH⊥OA于H．
在△COD与△PHD中，
，∴△COD≌△PHD，
∴CO=PH，
∴m=3；③∵PH∥OB，
∴△APH∽△ABO，
∴
=，=，∴AH=2m，OH=8-2m，
∴S△BCP=
×7×（8-2m）=28-7m，∴S=S△ABC-S△BCP=28-（28-7m）=7m；
（2）①当点B运动在y轴的正半轴上时．a、当点P在第一象限时，如图1，若四边形OCAP是等腰梯形，则PA=OC=3．
∵∠AHP=90°，OA=2OB，
∴PH=PA•sin∠PAH=3×
=，即m1=．∵∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC=t．
在Rt△AOB中，AB=
OB，即t=（t-3），∴t1=
=；b、当点P在第二象限时，如图2，四边形AOPC为凹四边形，不可能为等腰梯形；c、当点P在第四象限时，如图3，四边形AOPC中有一个角为直角，不可能为等腰梯形；
②当点B运动在OC上时．
a、当点P在第二象限时，如图4，四边形OACP为凹四边形，不可能为等腰梯形；
b、当点P在第三象限时，如图5，四边形OACP为凹四边形，不可能为等腰梯形；
c、当点P在第四象限时，如图6，若四边形OACP为等腰梯形，则AP=OC=3，
∵∠AHP=90°，OA=2OB，
∴PH=PA•sin∠PAH=3×
=，即m2=-．∵∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC=t．在Rt△AOB中，AB=
OB，即t=（3-t），∴t2=
=．综上所述，满足要求的m、t的值分别为
或．点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形的面积，等腰梯形的性质，锐角三角函数，综合性较强，难度较大．运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
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