题目内容

【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A,B,交y轴于点C,点A的坐标是(﹣1,0),点C的坐标是(0,2).

(1)求该抛物线的解析式;

(2)已知点P是抛物线的上的一个动点,点N在x轴上.

①若点P在x轴上方,且APN是等腰直角三角形,求点N的坐标;

②若点P在x轴下方,且ANPBOC相似,请直接写出点N的坐标.

【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)y=﹣x2+x+2;所求点N的坐标为N1(5,0),N2(6.5,0),N3(8,0),N4(44,0).

【解析】

试题分析:(1)把A、C两点的坐标代入函数解析式,即可得到关于b,c的方程组,从而求得b,c的值,求得函数的解析式;

(2)①首先由点P、A、B都在抛物线上,且A、B在x轴上,得出点A不可能是直角顶点,那么当APN是等腰直角三角形时,PAN=45°.作BAP=45°,AP交抛物线于点P,设点P坐标是(t,﹣t2+t+2).再分两种情况进行讨论:)当点N是直角顶点时,过点P作PN1x轴于点N1,则PN1=AN1,依此列出方程﹣t2+t+2=t+1,解方程求出N1的坐标;)当点P是直角顶点时,过点P作PN2AP,PN2交x轴于点N2,则AP=PN2,那么N1N2=AN1=2﹣(﹣1)=3,则ON2=2+3=5,N2的坐标可求;

②先由抛物线解析式求出B点坐标,根据BOC是直角三角形,得出ANP也是直角三角形,由A点不可能是直角顶点,得出直角顶点可能是P点或N点.设点P坐标是(t,﹣t2+t+2),则﹣t2+t+2<0.再分两种情况进行讨论:)过A作BC的平行线,交抛物线于点P,则PAB=OBC.过P作PN1x轴于点N1,则AN1P∽△BOC,N1(t,0).由AN1P∽△BOC,根据相似三角形对应边成比例求出t的值,得出点N1的坐标;过点P作PN2AP,PN2交x轴于点N2,则APN2∽△BOC.由AN1P∽△PN1N2,根据相似三角形对应边成比例求出t的值,得出点N2的坐标;)在x轴下方作BAP=OCB,交抛物线于点P,过P作PN3x轴于点N3,则AN3P∽△COB,N3(t,0).由AN3P∽△COB,根据相似三角形对应边成比例求出t的值,得出点N3的坐标;过点P作PN4AP,PN4交x轴于点N4,则APN4∽△COB.由AN3P∽△PN3N4,根据相似三角形对应边成比例求出t的值,得出点N4的坐标.

解:(1)抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0),C(0,2),

,解得

该抛物线的解析式是:y=﹣x2+x+2;

(2)①点P、A、B都在抛物线上,且A、B在x轴上,

点A不可能是直角顶点,则PAN=45°

如图,作BAP=45°,AP交抛物线于点P.设点P坐标是(t,﹣t2+t+2).

)当点N是直角顶点时,过点P作PN1x轴于点N1,则PN1=AN1

即﹣t2+t+2=t+1,

解得t1=2,t2=﹣1(不合题意舍去),

所以N1的坐标是(2,0);

)当点P是直角顶点时,过点P作PN2AP,PN2交x轴于点N2,则AP=PN2

即N1N2=AN1=2﹣(﹣1)=3,

则ON2=2+3=5,

所以N2的坐标是(5,0);

综上所述,点N的坐标是(2,0)或(5,0);

y=x2+x+2,

当y=0时,﹣x2+x+2=0,解得x=﹣1或4,

A(﹣1,0),

B(4,0),

∴△BOC中,OB=4,OC=2,BOC=90°

∵△BOC是直角三角形,

ANPBOC相似时,ANP也是直角三角形,

A点不可能是直角顶点,

直角顶点可能是P点或N点.

设点P坐标是(t,﹣t2+t+2),则﹣t2+t+2<0.

)过A作BC的平行线,交抛物线于点P,则PAB=OBC

过P作PN1x轴于点N1,则AN1P∽△BOC,N1(t,0).

∵△AN1P∽△BOC

=

===2,

AN1=2N1P,即t+1=2(t2t﹣2),

解得t1=5,t2=﹣1(不合题意舍去),

所以点P的坐标是(5,﹣3),点N1的坐标是(5,0);

过点P作PN2AP,PN2交x轴于点N2,则APN2∽△BOC

∵△AN1P∽△PN1N2

=

N1N2==1.5,

ON2=ON1+N1N2=5+1.5=6.5,

点N2的坐标是(6.5,0);

)在x轴下方作BAP=OCB,交抛物线于点P,过P作PN3x轴于点N3,则AN3P∽△COB,N3(t,0).

∵△AN3P∽△COB

=

===

PN3=2AN3,即t2t﹣2=2(t+1),

解得t1=8,t2=﹣1(不合题意舍去),

所以点P的坐标是(8,﹣18),点N3的坐标是(8,0);

过点P作PN4AP,PN4交x轴于点N4,则APN4∽△COB

∵△AN3P∽△PN3N4

=

N3N4==36,

ON4=ON3+N3N4=8+36=44,

点N4的坐标是(44,0);

综上所述,所求点N的坐标为N1(5,0),N2(6.5,0),N3(8,0),N4(44,0).

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