题目内容
【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A,B,交y轴于点C,点A的坐标是(﹣1,0),点C的坐标是(0,2).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)已知点P是抛物线的上的一个动点,点N在x轴上.
①若点P在x轴上方,且△APN是等腰直角三角形,求点N的坐标;
②若点P在x轴下方,且△ANP与△BOC相似,请直接写出点N的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)①y=﹣x2+x+2;②所求点N的坐标为N1(5,0),N2(6.5,0),N3(8,0),N4(44,0).
【解析】
试题分析:(1)把A、C两点的坐标代入函数解析式,即可得到关于b,c的方程组,从而求得b,c的值,求得函数的解析式;
(2)①首先由点P、A、B都在抛物线上,且A、B在x轴上,得出点A不可能是直角顶点,那么当△APN是等腰直角三角形时,∠PAN=45°.作∠BAP=45°,AP交抛物线于点P,设点P坐标是(t,﹣t2+t+2).再分两种情况进行讨论:Ⅰ)当点N是直角顶点时,过点P作PN1⊥x轴于点N1,则PN1=AN1,依此列出方程﹣t2+t+2=t+1,解方程求出N1的坐标;Ⅱ)当点P是直角顶点时,过点P作PN2⊥AP,PN2交x轴于点N2,则AP=PN2,那么N1N2=AN1=2﹣(﹣1)=3,则ON2=2+3=5,N2的坐标可求;
②先由抛物线解析式求出B点坐标,根据△BOC是直角三角形,得出△ANP也是直角三角形,由A点不可能是直角顶点,得出直角顶点可能是P点或N点.设点P坐标是(t,﹣t2+t+2),则﹣t2+t+2<0.再分两种情况进行讨论:Ⅰ)过A作BC的平行线,交抛物线于点P,则∠PAB=∠OBC.过P作PN1⊥x轴于点N1,则△AN1P∽△BOC,N1(t,0).由△AN1P∽△BOC,根据相似三角形对应边成比例求出t的值,得出点N1的坐标;过点P作PN2⊥AP,PN2交x轴于点N2,则△APN2∽△BOC.由△AN1P∽△PN1N2,根据相似三角形对应边成比例求出t的值,得出点N2的坐标;Ⅱ)在x轴下方作∠BAP=∠OCB,交抛物线于点P,过P作PN3⊥x轴于点N3,则△AN3P∽△COB,N3(t,0).由△AN3P∽△COB,根据相似三角形对应边成比例求出t的值,得出点N3的坐标;过点P作PN4⊥AP,PN4交x轴于点N4,则△APN4∽△COB.由△AN3P∽△PN3N4,根据相似三角形对应边成比例求出t的值,得出点N4的坐标.
解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0),C(0,2),
∴,解得,
∴该抛物线的解析式是:y=﹣x2+x+2;
(2)①∵点P、A、B都在抛物线上,且A、B在x轴上,
∴点A不可能是直角顶点,则∠PAN=45°.
如图,作∠BAP=45°,AP交抛物线于点P.设点P坐标是(t,﹣t2+t+2).
Ⅰ)当点N是直角顶点时,过点P作PN1⊥x轴于点N1,则PN1=AN1,
即﹣t2+t+2=t+1,
解得t1=2,t2=﹣1(不合题意舍去),
所以N1的坐标是(2,0);
Ⅱ)当点P是直角顶点时,过点P作PN2⊥AP,PN2交x轴于点N2,则AP=PN2,
即N1N2=AN1=2﹣(﹣1)=3,
则ON2=2+3=5,
所以N2的坐标是(5,0);
综上所述,点N的坐标是(2,0)或(5,0);
②∵y=﹣x2+x+2,
∴当y=0时,﹣x2+x+2=0,解得x=﹣1或4,
∵A(﹣1,0),
∴B(4,0),
∴△BOC中,OB=4,OC=2,∠BOC=90°.
∵△BOC是直角三角形,
∴当△ANP与△BOC相似时,△ANP也是直角三角形,
∵A点不可能是直角顶点,
∴直角顶点可能是P点或N点.
设点P坐标是(t,﹣t2+t+2),则﹣t2+t+2<0.
Ⅰ)过A作BC的平行线,交抛物线于点P,则∠PAB=∠OBC.
过P作PN1⊥x轴于点N1,则△AN1P∽△BOC,N1(t,0).
∵△AN1P∽△BOC,
∴=,
∴===2,
∴AN1=2N1P,即t+1=2(t2﹣t﹣2),
解得t1=5,t2=﹣1(不合题意舍去),
所以点P的坐标是(5,﹣3),点N1的坐标是(5,0);
过点P作PN2⊥AP,PN2交x轴于点N2,则△APN2∽△BOC.
∵△AN1P∽△PN1N2,
∴=,
∴N1N2==1.5,
∴ON2=ON1+N1N2=5+1.5=6.5,
∴点N2的坐标是(6.5,0);
Ⅱ)在x轴下方作∠BAP=∠OCB,交抛物线于点P,过P作PN3⊥x轴于点N3,则△AN3P∽△COB,N3(t,0).
∵△AN3P∽△COB,
∴=,
∴===,
∴PN3=2AN3,即t2﹣t﹣2=2(t+1),
解得t1=8,t2=﹣1(不合题意舍去),
所以点P的坐标是(8,﹣18),点N3的坐标是(8,0);
过点P作PN4⊥AP,PN4交x轴于点N4,则△APN4∽△COB.
∵△AN3P∽△PN3N4,
∴=,
∴N3N4==36,
∴ON4=ON3+N3N4=8+36=44,
∴点N4的坐标是(44,0);
综上所述,所求点N的坐标为N1(5,0),N2(6.5,0),N3(8,0),N4(44,0).
【题目】某公司销售一种产品,每件产品的成本价、销售价及月销售量如表;为了获取更大的利润,公司决定投入一定的资金做促销广告,结果发现:每月投入的广告费为x万元,产品的月销售量是原销售量的y倍,且y与x的函数图象为如图所示的一段抛物线.
成本价(元/件) | 销售价(元/件) | 销售量(万件/月) |
2 | 3 | 9 |
(1)求y与x的函数关系式为 ,自变量x的取值范围为 ;
(2)已知利润等于销售总额减去成本费和广告费,要使每月销售利润最大,问公司应投入多少广告费?