题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B在x的负半轴上，△AOB的面积为8，作△AOB关于y轴的对称图形，点B的对应点为C．
（1）求线段OC的长；
（2）点D从A点出发，沿线段AO向终点O运动，同时点E从点C出发，沿x轴的正方向运动，且CE＝AD，连接DE交AC于点G，判断DG和EG的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，当∠CEG＝∠ABD时，求点G点坐标．
【答案】（1）OC＝4；（2）DG＝GE，见解析；（3）G（3，1）．
【解析】
（1）利用三角形的面积公式求出OB，再根据对称性解决问题即可．
（2）证明△DGH≌△EGC（AAS）可得结论．
（3）如图3中，连接DB，DC，作DH∥EC交AC于H．设AD=DH=x，则AH=
x，HC=4﹣x，证明△DHG∽△CHD，推出
，由此构建方程求出x即可解决问题．
解：（1）如图1中，
∵A（0，4），
∴OA=4，
∵S△AOB=
×OB×OA=8，
∴OB=4，
∵△AOB与△AOC关于y轴对称，
∴OC=OB=4．
（2）如图2中，结论：DG=GE．
理由：作DH∥EC交AC于H．
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠DAH=∠ACO=45°，
∵DH∥OC，
∴∠AHD=∠ACO=45°，
∴∠DAH=∠AHD，
∴AD=DH，
∵AD=EC，
∴DH=EC，
∵∠DHG=∠GCE，∠DGH=∠CGE，
∴△DGH≌△EGC（AAS），
∴DG=EG．
（3）如图3中，连接DB，DC，作DH∥EC交AC于H．设AD=DH=x，则AH=x，HC=4﹣x，
∵HG=CG，
∴HG=HC=2﹣
x，
∵OA⊥BC，OB=OC，
∴AB=AC，DB=DC，
∴∠ABC=∠ACB，∠DBO=∠DCO，
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠CEG=∠ABD，
∴∠ACD=∠CEG，
∵DH∥CE，
∴∠HDG=∠CEG=∠DCH，
∵∠DHG=∠DHC，
∴△DHG∽△CHD，
∴，
∴
，
解得x=2，
∴AH=CH=2，
∴H（2，2），
∵GH=GC，
∴G（3，1）．
