题目内容

在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=4，OA=8，AB=4 $数学公式$ ．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）若D是线段OB上的点，OD=3DB，直线CD交x轴于E，求直线CD的解析式；
（3）若点P是（2）中直线CD上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）过B作BF⊥x轴于F，如图，
∵CB=4，OA=8，
∴AF=8-4=4，
在Rt△ABF中，AB=4 $\text{[math]}$ ，
∴BF= $\text{[math]}$ =8，
∴C点坐标为（0，8）
B点坐标为（4，8）；

（2）过D作DG⊥x轴于E，如图，
∴Rt△ODG∽Rt△OBF，
∴OD：OB=OG：OF=DG：BF，
而OD=3DB，即OD：OB=3：4，OF=4，BF=8，
∴OE=3，DG=6，
∴D点坐标为（3，6）；
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（0，8）、D（3，6）代入得，b=8，3k+b=6，解得k=- $\text{[math]}$ ，b=8，
∴直线CD的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+8；

（3）存在．理由如下：
如图，

当OC为菱形的对角线，即P₁Q₁垂直平分OC，
∴P₁的纵坐标为4，
把y=4代入y=- $\text{[math]}$ x+8解得x=6，
∴P₁的坐标为（6，4），
∴Q₁的坐标为（-6，4）；
当OC为菱形的边长，
∴P₂O=OC=Q₂P₂=8，P₂Q₂∥OC，
设P₂（a，b），则Q（a，b+8），
∴a²+b²=8²，b=- $\text{[math]}$ a+8，解得a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，
∴Q₂的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
同样的方法可求出Q₃的坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
所以满足条件的点Q的坐标为（-6，4）；（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）过B作BF⊥x轴于F，则OF=BC=4，得到AF=4，在Rt△ABF中，利用勾股定理求出BF，即可得到B点坐标；
（2）过D作DE⊥x轴于E，则Rt△ODE∽Rt△OBF，得到OD：OB=OE：OF=DE：BF，而OD=3DB，即OD：OB=3：4，OF=4，BF=8，求出OE=3，DE=6，确定D点坐标，然后利用待定系数法可求出直线CD的解析式；
（3）根据菱形的性质得：当OC为菱形的对角线，即P₁Q₁垂直平分OC，P₁的纵坐标为4，把y=4代入y=- $\text{[math]}$ x+8可确定P₁的坐标，即可得到Q₁的坐标；当OC为菱形的边长，则P₂O=OC=Q₂P₂=8，P₂Q₂∥OC，设P₂（a，b），则Q（a，b+8），则a²+b²=8²，b=- $\text{[math]}$ a+8，解出a和b的值即可得到Q₂的坐标；同样的方法可求出Q₃的坐标．
点评：本题考查了利用待定系数法求直线的解析式：设直线的解析式为y=kx+b，然后把两确定的点的坐标代入求出k和b即可；也考查了三角形相似的判定与性质、菱形的性质、勾股定理以及分类讨论思想的运用．

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如图（1），在直角梯形OABC中，BC∥OA，∠OCB=90°，OA=6，AB=5，cos∠OAB=

．
（1）写出顶点A、B、C的坐标；
（2）如图（2），点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分别为M，N．设PM=x，四边形OMPN的面积为y．
①求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②是否存在一点P，使得四边形OMPN的面积恰好等于梯形OABC的面积的一半？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．

做一做
（1）在直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．

（1）（1，0）、（6，0）、（6，1）、（5，0）、（6，-1）、（6，0）；
（2）（2，0）、（5，3）、（4，0）；
（3）（2，0）、（5，-3）、（4，0）．
观察所得到的图形像什么？如果要将此图形向上平移到x轴上方，那么至少要向上平移几个单位长度．

（2）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=45°，则∠DAC的度数是多少？
（写出解答过程）

（3）如图所示的平面直角坐标系，在直角梯形OABC中，CB∥OA，CB=8，OC=8，∠OAB=45°

（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求梯形OABC的面积．

如图，在直角梯形OABC中，OA、OC边所在直线与x、y轴重合，BC∥OA，点B的坐标为（6.4，4.8），对角线OB⊥OA．在线段OA、AB上有动点E、D，点E以每秒2厘米的速度在线段OA上从点O向点A匀速运动，同时点D以每秒1厘米的速度在线段AB上从点A向点B匀速运动．当点E到达点A时，点D同时停止运动．设点E的运动时间为t（秒），
（1）求线段AB所在直线的解析式；
（2）设四边形OEDB的面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出自变量的t的取值范围；
（3）在运动过程中，存不存在某个时刻，使得以A、E、D为顶点的三角形与△ABO相似，若存在求出这个时刻t，若不存在，说明理由．

（2013•高淳县二模）如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿射线OA运动，点Q以每秒1个单位的速度沿线段BC运动，当点Q运动到C点时，P、Q同时停止运动，动点P、Q运动时间为t秒．设线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥OA交AB于点E，射线QE交x轴于点F．
（1）当t为何值时，以P、A、B、Q为顶点的四边形是平行四边形？
（2）设以P、A、E、Q为顶点的四边形面积为S，求S关于运动时间t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？

如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，2），C（3，0）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ⊥直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t≤7），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）写出点B的坐标：

；
（2）当t=7时，求直线PQ的解析式，并判断点B是否在直线PQ上；
（3）求S关于t的函数关系式；
（4）连接AC．是否存在t，使得PQ分△ABC的面积为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．