Question

如图所示，在正方形ABCD中，AB=2，两条对角线相交于点O，以OB、OC为邻边作第1个正方形OBB₁C，对角线相交于点A₁；再以A₁B₁、A₁C为邻边作第2个正方形A₁B₁C₁C对角线相交于点O₁；再以O₁B₁、O₁C₁为邻边作第3个正方形O₁B₁B₂C₁，…依此类推．
（1）求第1个正方形OBB₁C的边长a₁和面积S₁；
（2）写出第2个正方形A₁B₁C₁C和第3个正方形的边长a₂，a₃和面积S₂，S₃；
（3）猜想第n个正方形的边长a_n和面积S_n．（不需证明）．

Answer 1

分析：由图示可知，每一个正方形的边长都等于上一个正方形对角线长度的一半，据此可进行解答．

解答：解：（1）正方形ABCD中，AB=2，
∴BD=2

2

∴a1=BO=

1

2

BD=

2

S1=BO2=(

2

)2
故第一个正方形的边长为

2

，面积为2．

（2）由图示可知，a₂=1，a3=

2

2

，S₂=1，S2=

1

2

．
故第二个正方形和第三个正方形的边长分别为1，

2

2

，面积为1，

1

2

．

（3）an=

1

( 2 )n-2

；Sn=

1

2n-2

（10分）

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质：对角线长是边长的

2

倍，及正方形的面积公式求解．