Question

（2013•凤阳县模拟）如图所示，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连结AE，CE．延长CE到F，连结BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为

2

2

；③BE+EC=EF；④S△AED=

1

4

+

2

8

；⑤S△EBF=

3

12

．其中正确的是

①③⑤

．

Answer 1

分析：根据正方形的性质得出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，利用SAS证明△ABE≌△CBE，即可判断①正确；过F作FH⊥BC于H，先求出∠FBH=30°，再根据直角三角形的性质求出FH，即可判断②错误；在EF上取一点N，使BN=BE，由∠BEN=60°，得出△NBE为等边三角形，再利用ASA证明△FBN≌△CBE，得出NF=EC，从而判断③正确；过A作AM⊥BD交于M，根据勾股定理求出BD，解直角△ADM与直角△AEM，求出AM、DM与EM的值，根据三角形的面积公式求出S_△AED=

1

2

DE×AM=

1

4

+

3

12

，即可判断④错误；根据S_△EBF=S_△FBC-S_△EBC及S_△CBE=S_△ABE=S_△ABM-S_△AEM，求出S_△EBF=

3

12

，进而判断⑤正确．

解答：解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
∴①正确；
②过F作FH⊥BC于H．
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=15°．
∵BF=BC=1，
∴∠BFC=∠FCB=15°，
∴∠FBH=∠BFC+∠FCB=30°，
∴FH=

1

2

BF=

1

2

，
∴②错误；
③在EF上取一点N，使BN=BE，
又∵∠BEN=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，
∴△NBE为等边三角形，
∴∠ENB=60°，
又∵∠NFB=15°，
∴∠NBF=45°，
又∵∠EBC=45°，
∴∠NBF=∠EBC，
又∵BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，
∴△FBN≌△CBE，
∴NF=EC，
故BE+EC=EN+NF=EF，
∴③正确；
④过A作AM⊥BD交于M．
在直角△ABM中，∵∠BAD=90°，AB=AD=1，
∴BD=

2

，
在直角△ADM中，∵∠AMD=90°，∠ADM=45°，AD=1，
∴DM=AM=

2

2

，
在直角△AEM中，∵∠AME=90°，∠AEM=60°，AM=

2

2

，
∴EM=

AM

3

=

6

6

，
∴S_△AED=

1

2

DE×AM=

1

2

（

2

2

+

6

6

）×

2

2

=

1

4

+

3

12

，
∴④错误；
⑤∵BD=

2

，AM=DM=

2

2

，EM=

6

6

，
∴BM=BD-DM=

2

-

2

2

=

2

2

，BM-EM=

2

2

-

6

6

，
∴S_△ABE=S_△ABM-S_△AEM=

1

2

BM•AM-

1

2

EM•AM=

1

2

AM（BM-EM）=

1

2

×

2

2

×（

2

2

-

6

6

）=

1

4

-

3

12

．
∵△ABE≌△CBE，
∴S_△ABE=S_△CBE=

1

4

-

3

12

，
∴S_△EBF=S_△FBC-S_△EBC=

1

2

×1×

1

2

-（

1

4

-

3

12

）=

3

12

，
∴⑤正确．
故答案为①③⑤．

点评：本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．