Question

【题目】下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程．

已知：△ABC．

求作：在BC边上求作一点P，使得△PAC∽△ABC．

作法：如图，

①作线段AC的垂直平分线GH；

②作线段AB的垂直平分线EF，交GH于点O；

③以点O为圆心，以OA为半径作圆；

④以点C为圆心，CA为半径画弧，交⊙O于点D（与点A不重合）；

⑤连接线段AD交BC于点P．

所以点P就是所求作的点．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：∵CD＝AC，

∴＝　 　．

∴∠　 　＝∠　 　．

又∵∠　 　＝∠　 　，

∴△PAC∽△ABC（　 　）（填推理的依据）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），CAP，ABC，ACP，BCA，有两组角对应相等的两个三角形相似

【解析】

(1)按照题目步骤进行做题即可；

(2)连接CD，由作图知，AC＝CD，,可得∠CAP＝∠ABC，又∠ACP＝∠BCA，

可得△ACP∽△BCA（有两组角对应相等的两个三角形相似）.

解：（1）补全图形如图所示：

（2）连接CD，由作图知，AC＝CD，

∴=，

∴∠CAP＝∠ABC，

∵∠ACP＝∠BCA，

∴△ACP∽△BCA（有两组角对应相等的两个三角形相似），

故答案为：，CAP，ABC，ACP，BCA，有两组角对应相等的两个三角形相似．