Question

在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，能完全覆盖△ABC的圆的半径R的最小值为

 

．

Answer 1

分析：分两种情况：如果△ABC是锐角三角形或钝角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆必然是△ABC的外接圆．因而求外接圆的半径即可，为此，作过B点作△ABC的外接圆直径BE，连接AE．在△BAE与△ADC中，根据同弧所对的圆周角相等可知∠ACB=∠AEB，因而可证得△BAE∽△ADC．根据相似三角形的性质，求得直径BE的长，那么半径R即可知．

解答：解：分两种情况：
①如果△ABC是锐角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆必然是△ABC的外接圆，
连接BO，并延长交△ABC的外接圆O于点E，并连接AE，
则∠ACB=∠AEB，
∵∠BAE=∠ADC=90°，
∴△BAE∽△ADC，
∴

BE

AC

=

AB

AD

，
即 BE=

AB

AD

•AC=

15

12

•13=

65

4

，
又∵BE是⊙O的直径，
∴BO=

1

2

BE=

65

8

；
②如果△ABC是钝角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆为最长边AB的一半，
故R=

15

2

=7.5．
故答案为：7.5或

65

8

．

点评：本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，根据对应边的比相等求得直径BE的长．