题目内容
【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B,
(1)求抛物线的解析式;
(2)求P在第一象限的抛物线上,P点的横坐标为t,过点P向x轴做垂线交直线BC于点Q,设线段PQ的长为m,求m与t之间的函数关系式并求出m的最大值;
(3)在(2)的条件下,抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值,连接BD,在抛物线是否存在点E(不与点A,B,C重合)使得∠DBE=45°?若不存在.请说明理由;若存在请求E点的坐标.
【答案】
(1)
解:抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0)、C(0,4)两点,
∴ 解得
∴抛物线的解析式y=﹣x2+3x+4
(2)
解:令﹣x2+3x+4=0,
解得x1=﹣1,x2=4,
∴B(4,0)
设直线BC的解析式为y=kx+a
∴ 解得
,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4
设P点的坐标为(t,﹣t2+3t+4),则Q点的坐标为(t,﹣t+4)
∴m=(﹣t2+3t+4)﹣(﹣t+4)=﹣(t﹣2)2+4
整理得m=﹣(t﹣2)2+4,
∴当t=2时,m的最大值为4
(3)
解:存在
∵抛物线一点D的纵坐标为m的最大值4,
∴﹣x2+3x+4=4,解得x1=0(舍),x2=3
∴D(3,4),CD=3
∵C(0,4),
∴CD∥x轴,
∵OC=OB=4,
∴△BOC为直角三角形,
过点D作DH⊥BC于H,过点E作EF⊥x于点F,在△CDB中,CD=3,∠DCB=45°
∴CH=DH= ,
∵CB=4 ,∴BH=CB﹣CH=
∵∠DBE=∠CBO=45°
∴∠DBE﹣∠CBE=∠CBO﹣∠CBE,
即∠DBC=∠EBF
∴tan∠DBC= =
=
设EF=3a∴BF=5a
∴OF=5a﹣4
∴F(4﹣5a,0),E(4﹣5a,3a)
∵点E在抛物线上
∴3a=﹣(4﹣5a)2+3(4﹣5a)+4
解得a1=0 a2=
∴E(﹣ ,
).
【解析】(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解关于b、c的方程组求出b、c的值即可得到抛物线解析式,令y=0,解关于x的一元二次方程即可得到点C的坐标;(2)根据抛物线的解析式y=﹣x2+3x+4,令y=0求得点B的坐标为(4.0),设直线BC的解析式为y=kx+a把点B、C的坐标代入直线BC的解析式为y=kx+a,解关于k、a的方程组求出k、a的值,所以直线BC的解析式为y=﹣x+4,设P点的坐标为(t,﹣t2+3t+4),则Q点的坐标为(t,﹣t+4),所以m=(﹣t2+3t+4)﹣(﹣t+4),整理得m=﹣(t﹣2)2+4,根据关于m、t的二次函数即可求得.(3)根据m的最大值是4,代入y=﹣x2+3x+4,可求得D点的坐标(3,4),过D点作DH⊥BC,过E点作EF⊥x轴,由OC=OB=4得△DCB为等腰直角三角形,从而得出△CDH为等腰直角三角形,通过等腰直角三角形求得CN、BH的值,然后根据三角形相似求得EF、BF的关系,设出E点的坐标,然后代入y=﹣x2+3x+4即可求得.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点,需要掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能正确解答此题.
