题目内容

【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.

【答案】
(1)

解:将A(1,0),B(﹣3,0)代y=﹣x2+bx+c中得

∴抛物线解析式为:y=﹣x2﹣2x+3


(2)

解:存在

理由如下:由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称

∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点,此时△AQC周长最小

∵y=﹣x2﹣2x+3

∴C的坐标为:(0,3)

直线BC解析式为:y=x+3

Q点坐标即为

解得

∴Q(﹣1,2)


(3)

解:存在.

理由如下:设P点(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣3<x<0)

∵SBPC=S四边形BPCO﹣SBOC=S四边形BPCO

若S四边形BPCO有最大值,则SBPC就最大,

∴S四边形BPCO=SBPE+S直角梯形PEOC

= BEPE+ OE(PE+OC)

= (x+3)(﹣x2﹣2x+3)+ (﹣x)(﹣x2﹣2x+3+3)

=

当x=﹣ 时,S四边形BPCO最大值=

∴SBPC最大=

当x=﹣ 时,﹣x2﹣2x+3=

∴点P坐标为(﹣


【解析】(1)根据题意可知,将点A、B代入函数解析式,列得方程组即可求得b、c的值,求得函数解析式;(2)根据题意可知,边AC的长是定值,要想△QAC的周长最小,即是AQ+CQ最小,所以此题的关键是确定点Q的位置,找到点A的对称点B,求得直线BC的解析式,求得与对称轴的交点即是所求;(3)存在,设得点P的坐标,将△BCP的面积表示成二次函数,根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标.

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