题目内容
如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,CF⊥AF,且CF=CE.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)若,求的值
【答案】
(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)首先连接OC,由CD⊥AB,CF⊥AF,CF=CE,即可判定AC平分∠BAF,由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC,则可证得∠BOC=∠BAF,即可判定OC∥AF,即可证得CF是⊙O的切线;
(2)由垂径定理可得CE=DE,即可得S△CBD=2S△CEB,由△ABC∽△CBE,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,易求得△CBE与△ABC的面积比,继而可求得的值.
试题解析:(1)证明:连接OC.
∵CE⊥AB,CF⊥AF,CE=CF,
∴AC平分∠BAF,即∠BAF=2∠BAC.
∵∠BOC=2∠BAC,
∴∠BOC=∠BAF.
∴OC∥AF.
∴CF⊥OC.
∴CF是⊙O的切线.
(2)解:∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴CE=ED,∠ACB=∠BEC=90°.
∴S△CBD=2S△CEB,∠BAC=∠BCE,
∴△ABC∽△CBE.
∴==(sin∠BAC)2==.
∴=.
考点: 1.切线的判定;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定与性质.
练习册系列答案
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如图,已知⊙O的直AB=20cm,CD垂AB于E,CD=12cm,AE的长为( )
A、1cm | B、2cm | C、3cm | D、4cm |