题目内容
(2013•怀化)如图,矩形ABCD中,AB=12cm,AD=16cm,动点E、F分别从A点、C点同时出发,均以2cm/s的速度分别沿AD向D点和沿CB向B点运动.
(1)经过几秒首次可使EF⊥AC?
(2)若EF⊥AC,在线段AC上,是否存在一点P,使2EP•AE=EF•AP?若存在,请说明P点的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由.
(1)经过几秒首次可使EF⊥AC?
(2)若EF⊥AC,在线段AC上,是否存在一点P,使2EP•AE=EF•AP?若存在,请说明P点的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由.
分析:(1)易证EF一定平分AC,当EF⊥AC时,△AEM∽△ACD,利用相似三角形的对应边的比相等即可求得AE的长,从而求得时间t的值;
(2)当EP⊥AD时,根据相似三角形的性质可以得到2EP•AE=EF•AP,根据△AEP∽△ADC,即可求得AP的长.
(2)当EP⊥AD时,根据相似三角形的性质可以得到2EP•AE=EF•AP,根据△AEP∽△ADC,即可求得AP的长.
解答:解:(1)在直角△ACD中,AC=
=
=20cm.
设经过ts时EF⊥AC.
则AE=CF=2t,
∵矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACF,
在△AME和△CMF中,
,
∴△AME≌△CMF(AAS).
则AM=MC=
AC=
×20=10cm.
当EF⊥AC时,△AEM∽△ACD,
∴
=
,即
=
,
解得:AE=
=
.
则t=
=
(s);
(2)存在.
∵△AME≌△CMF,
∴ME=MF=
EF,
当EP⊥AD时,△AME∽△AEP,
=
,即AE•EP=AP•ME=AP•
EF,
即2EP•AE=EF•AP.
∵PE⊥AD,CD⊥AD,
∴EP∥CD,
∴△AEP∽△ADC,
∴
=
,即
=
,
解得:AP=
.
AD2+CD2 |
122+162 |
设经过ts时EF⊥AC.
则AE=CF=2t,
∵矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACF,
在△AME和△CMF中,
|
∴△AME≌△CMF(AAS).
则AM=MC=
1 |
2 |
1 |
2 |
当EF⊥AC时,△AEM∽△ACD,
∴
AE |
AC |
AM |
AD |
AE |
20 |
10 |
16 |
解得:AE=
20×10 |
16 |
25 |
2 |
则t=
AE |
2 |
25 |
4 |
(2)存在.
∵△AME≌△CMF,
∴ME=MF=
1 |
2 |
当EP⊥AD时,△AME∽△AEP,
AE |
AP |
ME |
EP |
1 |
2 |
即2EP•AE=EF•AP.
∵PE⊥AD,CD⊥AD,
∴EP∥CD,
∴△AEP∽△ADC,
∴
AE |
AD |
AP |
AC |
| ||
16 |
AP |
20 |
解得:AP=
125 |
8 |
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,以及矩形的性质,正确理解当EP⊥AD时,2EP•AE=EF•AP成立,是关键.
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