题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠ABC的平分线与AC相交于点D,与⊙O过点A的切线相交于点E.
(1)∠ACB=°,理由是:
(2)猜想△EAD的形状,并证明你的猜想;
(3)若AB=8,AD=6,求BD.

【答案】
(1)90;直径所对的圆周角是直角
(2)解:△EAD是等腰三角形.

证明:∵∠ABC的平分线与AC相交于点D,

∴∠CBD=∠ABE

∵AE是⊙O的切线,∴∠EAB=90°

∴∠AEB+∠EBA=90°,

∵∠EDA=∠CDB,∠CDB+∠CBD=90°,

∵∠CBE=∠ABE,

∴∠AED=∠EDA,

∴AE=AD

∴△EAD是等腰三角形


(3)解:∵AE=AD,AD=6,

∴AE=AD=6,

∵AB=8,

∴在直角三角形AEB中,EB=10

∵∠CDB=∠E,∠CBD=∠ABE

∴△CDB∽△AEB,

= = =

∴设CB=4x,CD=3x则BD=5x,

∴CA=CD+DA=3x+6,

在直角三角形ACB中,

AC2+BC2=AB2

即:(3x+6)2+(4x)2=82

解得:x=﹣2(舍去)或x=

∴BD=5x=


【解析】解:(1)∵AB是⊙O的直径,点C在⊙O上, ∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)
(1)根据AB是⊙O的直径,点C在⊙O上利用直径所对的圆周角是直角即可得到结论;(2)根据∠ABC的平分线与AC相交于点D,得到∠CBD=∠ABE,再根据AE是⊙O的切线得到∠EAB=90°,从而得到∠CDB+∠CBD=90°,等量代换得到∠AED=∠EDA,从而判定△EAD是等腰三角形.(3)证得△CDB∽△AEB后设BD=5x,则CB=4x,CD=3x,从而得到CA=CD+DA=3x+6,然后在直角三角形ACB中,利用AC2+BC2=AB2得到(3x+6)2+(4x)2=82解得x后即可求得BD的长.

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