Question

如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，点F在BD上，且 BE=DF 连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AC平分∠HAG，求证：四边形AGCH是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：证明题

分析：（1）先由四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC，OB=OD，则OE=OF，又∵∠AOE=∠COF，利用SAS即可证明△AOE≌△COF；
（2）先证明四边形AGCH是平行四边形，再证明CG=AG，即可证明四边形AGCH是菱形．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
在△AOE与△COF中，

OA=OC ∠AOE=∠COF OE=OF

，
∴△AOE≌△COF（SAS）；

（2）由（1）得△AOE≌△COF，
∴∠OAE=∠OCF，
∴AE∥CF，
∵AH∥CG，
∴四边形AGCH是平行四边形；
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC=∠GAC，
∵AH∥CG，
∴∠HAC=∠GCA，
∴∠GAC=∠GCA，
∴CG=AG；
∴?AGCH是菱形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，难度适中，利用SAS证明△AOE≌△COF是解题的关键．