题目内容
【题目】已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴交与点E，已知点B（﹣1，0）．
（1）点A的坐标： ， 点E的坐标：；
（2）若二次函数y=﹣ 
x2+bx+c过点A、E，求此二次函数的解析式；
（3）P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）连结PB、PD，设l是△PBD的周长，当l取最小值时，求点P的坐标及l的最小值并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．
【答案】
（1）（1，2 
）；（0， ）
（2）
解：因为抛物线y=﹣ 
x2+bx+c过点A、E，
由待定系数法得：c= ，b= 
，
抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+
（3）
解：作点D关于AC的对称点D'，
连接BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，
即△PBD的周长L取最小值，如图2
．
∵D、D′关于直线AC对称，
∴DD′⊥AC，即∠D′DC=30°，
DF= ，DD'=2 ，
求得点D'的坐标为（4， ），
直线BD'的解析式为：y= 
x+ ，
直线AC的解析式为：y=﹣ x+3 ，
求直线BD'与AC的交点可，得
点P的坐标（ 
， 
）．
此时BD'= 
= 
=2 
，
所以△PBD的最小周长L为2 +2，
把点P的坐标代入y=﹣ + x+ 成立，
所以此时点P在抛物线上．
【解析】解：（1）连接AD，如图1
，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，又B的坐标为（﹣1，0），BC在x轴上，A在第一象限，
∴点C在x轴的正半轴上，
∴C的坐标为（3，0），由中点坐标公式，得：D的坐标为（1，0）．
显然AD⊥BC且AD= BD=2 ，
∴A的坐标是（1，2 ）．
OE= 
AD，得E（0， ）；
（1）△ABC是边长为4的等边三角形，则BC=4，而点D为BC的中点，BD=2，点B（﹣1，0），则OD=1，就可以求出A的横坐标，等边三角形的高线长，就是A的纵坐标．在直角三角形OBE中，根据三角函数可以求出OE的长，即得到E点的纵坐标．（2）已经求出A，E的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．（3）先作点D关于AC的对称点D'，连接BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值．根据三角函数求的D′的坐标，再求出直线BD′的解析式，以及直线AC的解析式，两直线的交点就是P的坐标．把点P的坐标代入二次函数的解析式，就可以判断是否在函数的图象上．
