Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DB＝DC，E是BC的中点，连接DE．

（1）求证：四边形ABED是矩形；

（2）连接AC，若∠ABD＝30°，DC＝2，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）通过平行线的性质，证明∠BAD＝90°，再通过等腰三角形的性质，可得∠DEB＝90°，即可证明四边形ABED是矩形；

（2）先证明△DBC是等边三角形，可得BD＝BC＝DC＝2，再根据含30度角的直角三角形的性质得出AB＝，利用勾股定理即可得出AC的长．

（1）证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，

∴∠BAD＝90°，

∵DB＝DC，E是BC的中点，

∴∠DEB＝90°，

∴四边形ABED是矩形；

（2）解：∵∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，

∴∠DBE＝60°，

∵DB＝DC，

∴△DBC是等边三角形，

∴BD＝BC＝DC＝2，

∵在Rt△BAD中，∠ABD＝30°，BD＝2，

∴AD＝1，AB＝，

∴在Rt△ABC中，AC＝＝．