题目内容
【题目】【试题背景】已知:l ∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1、d2、d3 ， 且d1 =d3 = 1，d2 = 2 ．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．
（1）【探究1】如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE
L于点E,BE的反向延长线交直线k于点F． 求正方形ABCD的边长．
（2）【探究2】矩形ABCD为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，求矩形ABCD的宽
（3）【探究3】如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形， 
于点E， ∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、M． 求证：EC=DF．
（4）【拓 展】如图3，l ∥k，等边三角形ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上， 
于点B，且AB=4 ，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、M，点D、E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE， 
于点H．
猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？直接写出结论。
【答案】
（1）解：如图1，
∵BE⊥l , l ∥k ,
∴∠AEB=∠BFC=90°, 又四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2=90°，AB=BC,
∵∠2+∠3=90°,
∴ ∠1=∠3,∴⊿ABE≌⊿BCF（AAS）,
∴AE=BF=1 ,
∵BE=d1+d2=3 ,
∴AB= 
= 
,
∴正方形的边长是
（2）解：（注意：要分2种情况讨论）如图2,3
∵ ⊿ABE∽⊿BCF,
∴ 
或 
，
∵BF=d3=1 ,
∴AE= 
或AE=2,
∴AB= 
= 
或 AB= 
= 
，
∴矩形ABCD的宽为 或
（3）解：如图4，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC,又∠ADC=60°,
∴⊿ADC是等边三角形，
∴AD=AC，
∵AE⊥k , ∠AFD=90°,
∴∠AEC=∠AFD=90°，
∵⊿AEF是等边三角形，
∴ AF=AE，
∴⊿AFD≌⊿AEC（HL），
∴EC=DF
（4）解：如图5，当2＜DH＜4时， BC∥DE ．
【解析】（1）根据垂线的定义及平行线的性质得出∠AEB=∠BFC=90°，根据正方形的性质得出∠1+∠2=90°，AB=BC, 然后利用同角的余角相等得出 ∠1=∠3，利用AAS证明△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质得出AE和BE的长，然后利用勾股定理即可求解；
（2） 过B作BE⊥l于点E，交k于点F，易证△AEB∽△BCF，然后根据相似三角形对应边成比例，得出
=
=
或==又BF=d3=1 , 故AE= 或AE=2,然后分AB是长和AB是宽两种情况进行讨论求得；
（3）连接AC，根据菱形的性质知AD=DC,又∠ADC=60°,进而判断出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AD=AC，AF=AE，根据垂直的定义得出∠AEC=∠AFD=90°，再证明△AFD≌△AEC（HL），根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（4）连接AM，首先证明△ABE≌△ACD，然后证明Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），根据全等三角形的对应角相等，以及等腰直角三角形 的性质证明∠MBC=∠MED，则ED∥BC即可证得．
【考点精析】通过灵活运用菱形的性质和矩形的性质，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等即可以解答此题．
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