题目内容

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，∠ABC=30°，以BC所在直线为x轴，以BC边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求直线AC的解析式；
（2）有一动点P以1cm/s的速度从点B开始沿x轴向其正方向运动，设点P的运动为t秒（单位：s）．①当t为何值时，△ABP是直角三角形；②现有另一点Q与点P同时从点B开始，以1cm/s的速度从点B开始沿折线BAC运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．试写出△BPQ的面积S关于t的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
分析：（1）求出点A及点C的坐标，利用待定系数法可确定直线AC的解析式；
（2）分两段讨论，①点Q在BA段，②点Q在AC段，依次确定BP、QD的长度，继而可确定△BPQ的面积．
解答：解：（1）∵AB=AC=10cm，∠ABC=30°，
∴OA=5cm，BO=CO=5
3
cm，
∴点A的坐标为（0，5），点C的坐标为（5
3
，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点A、点C的坐标代入可得：
5
3
k+b=0
b=5
，
解得：
k=-
3
3
b=5

故直线AC的解析式为：y=-
3
3
x+5；
（2）

①当∠APB=90°时，点P与点O重合时，此时BP=5
3
，
即可得t=5
3
；
当∠BAP=90°时，点P位于P1处，
此时BP1=
AB
cos∠ABO
=
20
3
3
，
即可得t=
20
3
3
．
综上可得当t=5
3
或
20
3
3
时，△ABP为直角三角形．
②当点Q位于AB段时，0＜t＜10，

过点Q作QD⊥OB于点D，BQ=t，BP=t，∠ABO=30°，
则QD=
1
2
BQ=
1
2
t
此时S△BPQ=
1
2
BP×QD=
1
2
t×
1
2
t=
1
4
t2；
当点Q位于AC段时，10≤t＜20，

此时BP=t，CQ=20-t，∠ACO=30°，
则QD=
1
2
CQ=
1
2
（20-t）=10-
1
2
t，
S△BPQ=
1
2
BP×QD=
1
2
t×（10-
1
2
t）=-
1
4
t2+5t．
点评：本题属于一次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、解直角三角形及三角形的面积，难点在第二问，注意分段讨论，求出△BPQ底边BP上的高，难度一般．
练习册系列答案
相关题目
24、已知：如图，在等腰三角形ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD与AC交于点D，DE⊥BC于点E．求证：AD=CE．
（2012•长春）感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）
拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．
应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为
6
6
．
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12，BC=8，又BD=3，CE=2．
求证：△ABD∽△BCE．
（1）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F．
①若∠BAD=20°，则∠C=
70°
70°
．
②求证：EF=ED．
（2）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
①求∠ECD的度数；
②若CE=5，求BC长．
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE等于（　　）

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