题目内容
在平行四边形ABCD中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF(如图1)
(1)在图1中画图探究:
①当P1为射线CD上任意一点(P1不与C重合)时,连接EP1;绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1.判断直线FG1与直线CD的位置关系,并加以证明;
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时,连接EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2.判断直线G1G2与直线CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.
(2)若AD=6,tanB=
,AE=1,在①的条件下,设CP1=x,S△P1FG1=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(1)在图1中画图探究:
①当P1为射线CD上任意一点(P1不与C重合)时,连接EP1;绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1.判断直线FG1与直线CD的位置关系,并加以证明;
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时,连接EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2.判断直线G1G2与直线CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.
(2)若AD=6,tanB=
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(1)①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直.
证明:如图1,设直线FG1与直线CD的交点为H.
∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1,
∴∠P1EG1=∠CEF=90°,EG1=EP1,EF=EC.
∵∠G1EF=90°-∠P1EF,∠P1EC=90°-∠P1EF,
∴∠G1EF=∠P1EC.
∴△G1EF≌△P1EC.
∴∠G1FE=∠P1CE.
∵EC⊥CD,
∴∠P1CE=90°,
∴∠G1FE=90度.
∴∠EFH=90度.
∴∠FHC=90度.
∴FG1⊥CD.
②按题目要求所画图形见图1,
∵FG1⊥CD,
∴直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC.
∵AD=6,AE=1,tanB=
,
∴DE=5,tan∠EDC=tanB=
.
可得CE=4.
由(1)可得四边形EFHC为正方形.
∴CH=CE=4.
①如图2,当P1点在线段CH的延长线上时,
∵FG1=CP1=x,P1H=x-4,
∴S△P1FG1=
×FG1×P1H=
.
∴y=
x2-2x(x>4).
②如图3,当P1点在线段CH上(不与C、H两点重合)时,
∵FG1=CP1=x,P1H=4-x,
∴S△P1FG1=
×FG1×P1H=
.
∴y=-
x2+2x(0<x<4).
③当P1点与H点重合时,即x=4时,△P1FG1不存在.
综上所述,y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y=
x2-2x(x>4)或y=-
x2+2x(0<x<4).
证明:如图1,设直线FG1与直线CD的交点为H.
∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1,
∴∠P1EG1=∠CEF=90°,EG1=EP1,EF=EC.
∵∠G1EF=90°-∠P1EF,∠P1EC=90°-∠P1EF,
∴∠G1EF=∠P1EC.
∴△G1EF≌△P1EC.
∴∠G1FE=∠P1CE.
∵EC⊥CD,
∴∠P1CE=90°,
∴∠G1FE=90度.
∴∠EFH=90度.
∴∠FHC=90度.
∴FG1⊥CD.
②按题目要求所画图形见图1,
∵FG1⊥CD,
∴直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC.
∵AD=6,AE=1,tanB=
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∴DE=5,tan∠EDC=tanB=
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可得CE=4.
由(1)可得四边形EFHC为正方形.
∴CH=CE=4.
①如图2,当P1点在线段CH的延长线上时,
∵FG1=CP1=x,P1H=x-4,
∴S△P1FG1=
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x(x-4) |
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∴y=
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②如图3,当P1点在线段CH上(不与C、H两点重合)时,
∵FG1=CP1=x,P1H=4-x,
∴S△P1FG1=
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x(4-x) |
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∴y=-
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③当P1点与H点重合时,即x=4时,△P1FG1不存在.
综上所述,y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y=
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