题目内容
【题目】如图,已知点A的坐标是(﹣1,0),点B的坐标是(9,0),以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,连接AC,BC,过A,B,C三点作抛物线.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,连接BD,求直线BD的解析式;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得∠PDB=∠CBD?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
第三问改成,在(2)的条件下,点P是直线BC下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△PCD的面积是△BCD面积的三分之一,求此时点P的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣3;(2)直线BD的解析式为y=x﹣9;(3)符合条件的点P有两个:P1(,),P2(14,25).
【解析】分析:(1)已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长,在直角三角形ACB中由于OC⊥AB,因此可用射影定理求出OC的长,即可得出C点的坐标.然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)本题的关键是得出D点的坐标,CD平分∠BCE,如果连接O′D,那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为(4,-5).根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式;
(3)本题要分两种情况进行讨论:
①过D作DP∥BC,交D点右侧的抛物线于P,此时∠PDB=∠CBD,可先用待定系数法求出直线BC的解析式,然后根据BC与DP平行,那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同,因此可根据D的坐标求出DP的解析式,然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标,然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点.
②同①的思路类似,先作与∠CBD相等的角:在O′B上取一点N,使BN=BM.可通过证△NBD≌△MDB,得出∠NDB=∠CBD,然后同①的方法一样,先求直线DN的解析式,进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标.
综上所述可求出符合条件的P点的值.
详解:(1)∵以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,
∴∠OCA+∠OCB=90°,
又∵∠OCB+∠OBC=90°,
∴∠OCA=∠OBC,
又∵∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴.
又∵A(﹣1,0),B(9,0),
∴,
解得OC=3(负值舍去).
∴C(0,﹣3),
故设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣9),
∴﹣3=a(0+1)(0﹣9),解得a=,
∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x﹣9),
即y=x2﹣x﹣3.
(2)∵AB为O′的直径,且A(﹣1,0),B(9,0),
∴OO′=4,O′(4,0),
∵点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,
∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°,
连接O′D交BC于点M,
则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°,OO′=4,O′D=AB=5.
∴O′D⊥x轴
∴D(4,﹣5).
∴设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0)
∴
解得
∴直线BD的解析式为y=x﹣9.
(3)假设在抛物线上存在点P,使得∠PDB=∠CBD,
设射线DP交⊙O′于点Q,则.
分两种情况(如图所示):
①∵O′(4,0),D(4,﹣5),B(9,0),C(0,﹣3).
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°,使点D与点B重合,则点C与点Q1重合,
因此,点Q1(7,﹣4)符合,
∵D(4,﹣5),Q1(7,﹣4),
∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x﹣.
解方程组
得或
∴点P1坐标为(,),坐标为(,)不符合题意,舍去.
②∵Q1(7,﹣4),
∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7,4)也符合.
∵D(4,﹣5),Q2(7,4).
∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x﹣17.
解方程组,得,
∴点P2坐标为(14,25),坐标为(3,﹣8)不符合题意,舍去.
∴符合条件的点P有两个:P1(,),P2(14,25).