题目内容
【题目】如图1,P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动,点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动,在直角三角形ABC中,∠A=90°,若AB=16厘米,AC=12厘米,BC=20厘米,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动时间,那么:
(1)如图1,若P在线段AB上运动,Q在线段CA上运动,试求出t为何值时,QA=AP
(2)如图2,点Q在CA上运动,试求出t为何值时,三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的;
(3)如图3,当P点到达C点时,P、Q两点都停止运动,试求当t为何值时,线段AQ的长度等于线段BP的长的
【答案】(1) 4s;(2) 9s;(3) t=s或16s
【解析】
试题(1)当P在线段AB上运动,Q在线段CA上运动时,设CQ=t,AP=2t,则AQ=12-t,由AQ=AP,可得方程12-t=2t,解方程即可.
(2)当Q在线段CA上时,设CQ=t,则AQ=12-t,根据三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的,列出方程即可解决问题.
(3)分三种情形讨论即可①当0<t≤8时,P在线段AB上运动,Q在线段CA上运动.②当8<t≤12时,Q在线段CA上运动,P在线段BC上运动.③当t>12时,Q在线段AB上运动,P在线段BC上运动时,分别列出方程求解即可.
试题解析:(1)当P在线段AB上运动,Q在线段CA上运动时,设CQ=t,AP=2t,则AQ=12-t,
∵AQ=AP,
∴12-t=2t,
∴t=4.
∴t=4s时,AQ=AP.
(2)当Q在线段CA上时,设CQ=t,则AQ=12-t,
∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的,
∴ABAQ=×ABAC,
∴×16×(12-t)=×16×12,解得t=9.
∴t=9s时,三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的.
(3)由题意可知,Q在线段CA上运动的时间为12秒,P在线段AB上运动时间为8秒,
①当0<t≤8时,P在线段AB上运动,Q在线段CA上运动,设CQ=t,AP=2t,则AQ=12-t,BP=16-2t,
∵AQ=BP,
∴12-t=(16-2t),解得t=16(不合题意舍弃).
②当8<t≤12时,Q在线段CA上运动,P在线段BC上运动,设CQ=t,则AQ=12-t,BP=2t-16,
∵AQ=BP,
∴12-t=(2t-16),解得t=.
③当t>12时,Q在线段AB上运动,P在线段BC上运动时,
∵AQ=t-12,BP=2t-16,
∵AQ=BP,
∴t-12=(2t-16),解得/span>t=16,
综上所述,t=s或16s时,AQ=BP.