题目内容

【题目】如图,RtABC,C=90,AC=6,BC=8,动点P从点A开始,沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点D从点A开始,沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动,且恰好能始终保持连结两动点的直线PDAC,动点Q从点C开始,沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,连结PQ.P,D,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另两个点也随之停止运动,设运动时间为t(t0).

(1)t为何值时,四边形BQPD的面积为△ABC面积的?

(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;

(3)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度。

【答案】(1);(2)存在,;(3)不存在;当点Q的速度为每秒个单位长度时,经过秒,四边形PDBQ是菱形.

【解析】

(1)首先表示出四边形面积以及求出三角形面积,列方程求解即可;

(2)BQ//DP,可得当BQ=DP时,四边形PDBQ是平行四边形,由此可得关于t的方程,解方程即可得;

(3)利用(2)中所求,即可求得此时DPBD的长,由DPBD,可判定平行四边形PDBQ不能为菱形,然后设点Q的速度为每秒v个单位长度,由要使四边形PDBQ为菱形,则PD=BD=BQ,列方程求解即可.

(1)∵直线PDAC

∴∠APD=90°

又∵∠C=90°

∴∠C=APD

PD//BC

RtAPD中,AD=AP=t

PD=PC=AC-AP=6-t

CQ=2tBC=8

BQ=8-2t

∴四边形BQPD的面积为:(BQ+DP)×PC=(8-2t+t)(6-t)

ABC的面积为:ACBC=×6×8=24

∴四边形BQPD的面积为ABC面积的时,×24=(8-2t+t)(6-t)

解得:

∵当其中一点到达端点时,另两个点也随之停止运动,

t4

不合题意,舍去,

∴当t时,四边形BQPD的面积为△ABC面积的

(2)存在,

PD//BC

BQ//DP

∴当BQ=DP时,四边形PDBQ是行四边形,

8-2t=,解得:t=

∴存在,t=时,四边形PDBQ为平行四边形;

(3)不存在,理由如下:

时,

DPBD

∴平行四边形PDBQ不能为菱形;

设点Q的速度为每秒v个单位长度,

BQ=8-vtPD=BD=10-

要使四边形PDBQ成为菱形,则PD=BD=BQ

PD=BD时,即,解得:t=

PD=BQt=时,即,解得:v=

所以当点Q的速度为每秒个单位长度时,经过秒,四边形PDBQ是菱形.

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