题目内容

(1)当点E与点A重合时,折痕EF的长为
(2)写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围,并求出当x=2时菱形的边长;
(3)令EF2=y,当点E在AD、点F在BC上时,写出y与x的函数关系式(写出x的取值范围).
分析:(1)当点E与点A重合时,得出∠DEF=∠FEP=45°,利用勾股定理得出答案即可;
(2)结合EF的长度得出x的取值范围,当x=2时,设PE=m,则AE=2-m,利用勾股定理得出答案;
(3)构造直角三角形,利用相似三角形的对应线段成比例确定y的值.
(2)结合EF的长度得出x的取值范围,当x=2时,设PE=m,则AE=2-m,利用勾股定理得出答案;
(3)构造直角三角形,利用相似三角形的对应线段成比例确定y的值.
解答:
解:(1)∵纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF,
当点E与点A重合时,
∵点D与点P重合是已知条件,
∴∠DEF=∠FEP=45°,
∴∠DFE=45°,即:ED=DF=1,
利用勾股定理得出EF=
,
∴折痕EF的长为
.
故答案为:
;
(2)∵要使四边形EPFD为菱形,
∴DE=EP=FP=DF,
只有点E与点A重合时,EF最长为
,此时x=1,
当EF最长时,点P与B重合,此时x=3,
∴探索出1≤x≤3
当x=2时,如图,连接DE、PF.
∵EF是折痕,
∴DE=PE,设PE=m,则AE=2-m
∵在△ADE中,∠DAP=90°,
∴AD2+AE2=DE2,即12+(2-m)2=m2,
解得 m=1.25,此时菱形EPFD的边长为1.25;
(3)过E作EH⊥BC;

∵∠EDO+∠DOE=90°,∠FEO+∠EOD=90°,
∴∠ODE=∠FEO,
∴△EFH∽△DPA,
∴
=
,
∴FH=3x;
∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2;
当F与点C重合时,如图,连接PF;
∵PF=DF=3,
∴PB=
=2
,
∴0≤x≤3-2
.

当点E与点A重合时,
∵点D与点P重合是已知条件,
∴∠DEF=∠FEP=45°,
∴∠DFE=45°,即:ED=DF=1,
利用勾股定理得出EF=
2 |
∴折痕EF的长为
2 |
故答案为:
2 |
(2)∵要使四边形EPFD为菱形,
∴DE=EP=FP=DF,
只有点E与点A重合时,EF最长为
2 |
当EF最长时,点P与B重合,此时x=3,

∴探索出1≤x≤3
当x=2时,如图,连接DE、PF.
∵EF是折痕,
∴DE=PE,设PE=m,则AE=2-m
∵在△ADE中,∠DAP=90°,
∴AD2+AE2=DE2,即12+(2-m)2=m2,
解得 m=1.25,此时菱形EPFD的边长为1.25;
(3)过E作EH⊥BC;
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∵∠EDO+∠DOE=90°,∠FEO+∠EOD=90°,
∴∠ODE=∠FEO,
∴△EFH∽△DPA,
∴
FH |
EH |
AP |
AD |
∴FH=3x;

∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2;
当F与点C重合时,如图,连接PF;
∵PF=DF=3,
∴PB=
32-12 |
2 |
∴0≤x≤3-2
2 |
点评:此题是一道综合性较强的题目,主要考查学生的图感,利用折叠过程中的等量关系寻找解题途径;特别是最后一问中涉及到的知识点比较多,需要同学们利用相似三角形的性质确定函数关系式.

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