Question

如图，已知二次函数图象的顶点为原点，直线y=

1

2

x+4的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．
（1）求B点的坐标与这个二次函数的解析式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设该线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的顶点为原点，得出二次函数的一般解析式y=ax²，将（8，8）代入即可；
（2）直接表示出PE与DE的长度从而得出PD的长，即可得出解析式；
（3）分别为当∠PDB=∠BOC=90°时与当∠PDB=∠BOC=90°时，利用相似三角形的判定与性质求出即可．

解答：解：（1）令x=0，代入y=

1

2

x+4，
∴y=4，
∴B（0，4）．
设y=ax²，把（8，8）代入得：8²•a=8，
∴a=

1

8

，
∴y=

1

8

x2，

（2）∵点P的横坐标为t，
∴PE=

1

2

t+4；DE=

1

8

t2．
∴PD=PE-DE=

1

2

t+4-

1

8

t2，
∴h=-

1

8

t2+

1

2

t+4(0＜t＜8)；


（3）存在，
①当∠PDB=∠BOC=90°时，
∴BD∥CE，
∴∠PBD=∠BCO．
∴△PDB∽△BOC，
∴

PD

BO

=

BD

CO

．
令y=

1

2

x=4=0，得x=-8，
∴C（-8，0），
∴CO=8．
∴

- 1 8 t2+ 1 2 t+4

4

=

t

8

．
化简得：t²=32．
解得：t1=4

2

；t2=-4

2

＜0（不合题意，舍去）．
把t1=4

2

代入y=

1

2

x+4，
得y=2

2

+4．
∴点P的坐标为(4

2

，2

2

+4)．
②当∠PBD=∠BOC=90°时，
∵PD∥BO，∴∠DPB=∠CBO．
∴△PBD∽△BOC．
过点D作DF⊥OB，
∵∠DPB+∠PDB=90°，∠BDF+∠PDB=90°，
∴∠BDF=∠DPB=∠CBO．
∵∠BFD=∠COB，
△DFB∽△BOC，
∵BF=BO-OF=4-

1

8

t2，
∴

DF

BO

=

BF

CO

，
∴

t

4

=

4- 1 8 t2

8

．
化简得：t²+16t-32=0．
解得：t1=-8+4

6

；t2=-8-4

6

＜0（不合题意，舍去）
把t1=-8+4

6

代入y=

1

2

x+4，
得：y=2

6

，
∴P点的坐标为(-8+4

6

，2

6

)，
∴当P点的坐标为(-8+4

6

，2

6

)或(4

2

，2

2

+4)时
以点P．D．B为顶点的三角形与△BOC相似．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．