Question

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上，P为线段AB上一动点（除A，B两端点外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q设线段PQ的长为l，点P的横坐标为x．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求l与x之间的函数关系式，并求出l的取值范围；
（3）线段AB上是否存在一点P，使四边形PQMA为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据直线的解析式求出A点的坐标，然后根据M点的坐标，用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，将A点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）根据直线y=x+2的解析式求出A点的坐标，根据A、B的坐标求出抛物线的解析式，由PQ⊥x轴得P、Q的横坐标为x，最后用纵坐标的差表示出来就可．根据A、B两点的总坐标就可以求出取值范围；
（3）过点M作MQ∥AB交抛物线于点Q，连接AM，作PQ∥y轴于点P，过M作MD∥PQ，MD交AB于N，得出四边形PQMD为平行四边形，可以求出MD的长度，从而求出P点的坐标；

解答：解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y=a（x-2）²，
由于直线y=x+2与y轴交于（0，2），
∴x=0，y=2
满足y=a（x-2）²，于是求得a=

1

2

，
二次函数的解析式为y=

1

2

（x-2）²；

（2）∵PQ⊥x轴且横坐标为x，
∴l=（x+2）-

1

2

（x-2）²=-

1

2

x²+3x，
由

y=x+2 y= 1 2 (x-2)2

得点B的坐标为B（6，8），
∵点p在线段AB上运动，
∴0＜x＜6．
∵l=-

1

2

x2+3x=-

1

2

(x-3)2+

9

2

，
∴当x=3时，l最大=

9

2

．
∴0＜l＜

9

2

；

（3）作MQ∥AP．过M作MD∥PQ，MD交AB于N，
则四边形PQMD为平行四边形．
∴MD=PQ，∵M（2，0），∴D（2，4），∴MD=4．
∴PQ=-

1

2

x2+3x=MD=4．
∴x²-6x+8=0，∴x₁=2，x₂=4．
∵2＜x＜6，∴x=4．
∴P（4，6），Q（4，2）．
即P点的坐标为：（4，6）

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、梯形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．