题目内容

如图1,边长为4的正方形ABCD中,点E在AB边上(不与点A,B重合),点F在BC边上(不与点B,C重合).
第一次操作:将线段EF绕点F顺时针旋转,当点E落在正方形上时,记为点G;
第二次操作:将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形上时,记为点H;
依次操作下去…
(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的,其形状为   ,求此时线段EF的长;
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.
①请判断四边形EFGH的形状为   ,此时AE与BF的数量关系是   
②以①中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围;
(3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形,其最大边数是多少?它可能是正多边形吗?如果是,请直接写出其边长;如果不是,请说明理由.

(1)△DEF为等边三角形,EF的长为4﹣4
(2)①四边形EFGH的形状为正方形,此时AE=BF.
②y=2x2﹣8x+16(0<x<4),y的取值范围为:8≤y<16.
(3)经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形,其最大边数是8,它可能为正多边形,边长为4﹣4.

解析试题分析:(1)根据旋转的性质,易知△EFD是等边三角形;利用等边三角形的性质、勾股定理即求出EF的长;
(2)①四边形EFGH的四边长都相等,所以是正方形;利用三角形全等证明AE=BF;
②求出面积y的表达式,这是一个二次函数,利用二次函数性质求出最值及y的取值范围.
(3)如答图2所示,经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形,可能是正多边形,最大边数为8,边长为4﹣4
试题解析:(1)如题图2,由旋转性质可知EF=DF=DE,则△DEF为等边三角形.
在Rt△ADE与Rt△CDF中,

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)
∴AE=CF.
设AE=CF=x,则BE=BF=4﹣x
∴△BEF为等腰直角三角形.
∴EF=BF=(4﹣x).
∴DE=DF=EF=(4﹣x).
在Rt△ADE中,由勾股定理得:AE2+AD2=DE2,即:x+42=[(4﹣x]2
解得:x1=8﹣4,x2=8+4(舍去)
∴EF=(4﹣x)=4﹣4
DEF的形状为等边三角形,EF的长为4﹣4
(2)①四边形EFGH的形状为正方形,此时AE=BF.理由如下:
依题意画出图形,如答图1所示:

由旋转性质可知,EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH的形状为正方形.
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3.
∵∠3+∠4=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠2=∠4.
∵EF=EH
∴△AEH≌△BFE(ASA)
∴AE=BF.
②利用①中结论,易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形,
∴BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4﹣x.
∴y=S正方形ABCD﹣4S△AEH=4×4﹣4×x(4﹣x)=2x2﹣8x+16.
∴y=2x2﹣8x+16(0<x<4)
∵y=2x2﹣8x+16=2(x﹣2)2+8,
∴当x=2时,y取得最小值8;当x=0时,y=16,
∴y的取值范围为:8≤y<16.
(3)经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形,其最大边数是8,它可能为正多边形,边长为4﹣4.
如答图2所示,粗线部分是由线段EF经过7次操作所形成的正八边形.

设边长EF=FG=x,则BF=CG=x,
BC=BF+FG+CG=x+x+x=4,解得:x=4﹣4.
考点:1、旋转的性质;2、正方形;3、勾股定理;4、二次函数 

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