题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8,OE=17,抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A,抛物线的对称轴与x轴相交于点B,与CD交于点K.
(1)将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.
①点B的坐标为( 、 ),BK的长是 ,CK的长是 ;
②求点F的坐标;
③请直接写出抛物线的函数表达式;
(2)将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连接OG,折痕与OG相交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连接MG,MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连接ON,点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化范围;若不变,请直接写出这个值.
温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
【答案】(1)①10,0,8,10;②(4,8);③y=x2﹣3x+5.(2)不变.S1S2=189.
【解析】试题分析:(1)①根据四边形OCKB是矩形以及对称轴公式即可解决问题.②在RT△BKF中利用勾股定理即可解决问题.③设OA=AF=x,在RT△ACF中,AC=8﹣x,AF=x,CF=4,利用勾股定理即可解决问题.
(2)不变.S1S2=189.由△GHN∽△MHG,得,得到GH2=HNHM,求出GH2,根据S1S2=OGHNOGHM即可解决问题.
试题解析:(1)如图1中,①∵抛物线y=x2﹣3x+m的对称轴x=﹣=10,
∴点B坐标(10,0),
∵四边形OBKC是矩形,
∴CK=OB=10,KB=OC=8,
故答案分别为10,0,8,10.
②在RT△FBK中,∵∠FKB=90°,BF=OB=10,BK=OC=8,
∴FK==6,
∴CF=CK﹣FK=4,
∴点F坐标(4,8).
③设OA=AF=x,
在RT△ACF中,∵AC2+CF2=AF2,
∴(8﹣x)2+42=x2,
∴x=5,
∴点A坐标(0,5),代入抛物线y=x2﹣3x+m得m=5,
∴抛物线为y=x2﹣3x+5.
(2)不变.S1S2=189.
理由:如图2中,在RT△EDG中,∵GE=EO=17,ED=8,
∴DG==15,
∴CG=CD﹣DG=2,
∴OG==2,
∵CP⊥OM,MH⊥OG,
∴∠NPN=∠NHG=90°,
∵∠HNG+∠HGN=90°,∠PNM+∠PMN=90°,∠HNG=∠PNM,
∴∠HGN=∠NMP,
∵∠NMP=∠HMG,∠GHN=∠GHM,
∴△GHN∽△MHG,
∴,
∴GH2=HNHM,
∵GH=OH=,
∴HNHM=17,
∵S1/span>S2=OGHNOGHM=(2)217=289.