题目内容
如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201107/23/c1ad7327.png)
①求证:△DFE是等腰直角三角形;
②在此运动变化的过程中,四边形CDFE的面积是否保持不变?试说明理由.
③求△CDE面积的最大值.
分析:①作常规辅助线连接CF,由SAS定理可证△CFE和△ADF全等,从而可证∠DFE=90°,DF=EF.所以△DEF是等腰直角三角形;
②由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变;
③△DEF是等腰直角三角形DE=
DF,当DF与BC垂直,即DF最小时,DE取最小值4
,△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积.
②由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变;
③△DEF是等腰直角三角形DE=
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解答:解:①连接CF;
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠FCB=∠A=45°,CF=AF=FB;
∵AD=CE,
∴△ADF≌△CEF;
∴EF=DF,∠CFE=∠AFD;
∵∠AFD+∠CFD=90°,
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°,
∴△EDF是等腰直角三角形.
②当D、E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形.
∵△ADF≌△CEF,
∴S△CEF=S△ADF
∴S四边形CEFD=S△AFC.
③由于△DEF是等腰直角三角形,因此当DE最小时,DF也最小;
即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=
BC=4.
∴DE=
DF=4
;
当△CEF面积最大时,此时△DEF的面积最小.
此时S△CEF=S四边形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF=16-8=8.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠FCB=∠A=45°,CF=AF=FB;
∵AD=CE,
∴△ADF≌△CEF;
∴EF=DF,∠CFE=∠AFD;
∵∠AFD+∠CFD=90°,
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°,
∴△EDF是等腰直角三角形.
②当D、E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形.
∵△ADF≌△CEF,
∴S△CEF=S△ADF
∴S四边形CEFD=S△AFC.
③由于△DEF是等腰直角三角形,因此当DE最小时,DF也最小;
即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=
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∴DE=
2 |
2 |
当△CEF面积最大时,此时△DEF的面积最小.
此时S△CEF=S四边形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF=16-8=8.
点评:此题考查的知识点有等腰直角三角形,全等三角形的判定与性质等知识点,综合性强,难度较大,是一道难题.
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①△DFE是等腰直角三角形;
②四边形CDFE不可能为正方形,
③DE长度的最小值为4;
④四边形CDFE的面积保持不变;
⑤△CDE面积的最大值为8.
其中正确的结论是( )
A、①②③ | B、①④⑤ | C、①③④ | D、③④⑤ |