题目内容
如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点M、N是AB上任意两点,且∠MCN=45°,点T为AB的中点.以下结论:①AB=
AC;②CM2+TN2=NC2+MT2;③AM2+BN2=MN2;④S△CAM+S△CBN=S△CMN.其中正确结论的序号是( )
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A、①②③④ | B、只有①②③ |
C、只有①③④ | D、只有②④ |
分析:此题要根据等腰三角形的性质求解,由于△ABC是等腰三角形,显然①的结论是成立的;②题中,可连接CT,利用勾股定理求证;③此题用通过构造全等三角形来求解,过C作∠DCN=∠BCN,且CD=CB,连接DN、DM,通过两步全等来判断结论是否正确;④分别表示出三个三角形的面积,然后判断它们是否符合题目给出的等量关系即可.
解答:解:①∵△ABC是等腰三角形,∴AB=
AC,故①正确;
②连接CT;
由勾股定理得:CM2-MT2=CT2,NC2-NT2=CT2,
联立两式可得:CM2-MT2=NC2-NT2,即CM2+TN2=NC2+MT2;
故②正确;
③如图,过C作∠NCD=∠BCN,且CD=CB=AC,连接DM、DN;
∵∠DCN=∠BCN,CD=BC,CN=CN,
∴△DCN≌△BCN,得BN=DN,∠NDC=∠B=45°;
∵∠MCN=45°,∠ACB=90°,
∴∠ACM=∠DCM=45°-∠BCN=45°-∠DCN,
又∵AC=DC,CM=CM,
∴△ACM≌△DCM,得DM=AM,∠MDC=∠A=45°;
∴∠MDN=45°+∠45°=90°,
在Rt△MDN中,由勾股定理得:DM2+DN2=MN2,即AM2+BN2=MN2,
故③正确;
④S△ACM=
AM•CT,S△BNC=
BN•CT,S△MNC=
MN•CT,
∵AM+BN≠MN,∴S△ACM+S△BCN≠S△MNC,
故④错误;
因此正确的结论是①②③,故选B.
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②连接CT;
由勾股定理得:CM2-MT2=CT2,NC2-NT2=CT2,
联立两式可得:CM2-MT2=NC2-NT2,即CM2+TN2=NC2+MT2;
故②正确;
③如图,过C作∠NCD=∠BCN,且CD=CB=AC,连接DM、DN;
∵∠DCN=∠BCN,CD=BC,CN=CN,
∴△DCN≌△BCN,得BN=DN,∠NDC=∠B=45°;
∵∠MCN=45°,∠ACB=90°,
∴∠ACM=∠DCM=45°-∠BCN=45°-∠DCN,
又∵AC=DC,CM=CM,
∴△ACM≌△DCM,得DM=AM,∠MDC=∠A=45°;
∴∠MDN=45°+∠45°=90°,
在Rt△MDN中,由勾股定理得:DM2+DN2=MN2,即AM2+BN2=MN2,
故③正确;
④S△ACM=
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∵AM+BN≠MN,∴S△ACM+S△BCN≠S△MNC,
故④错误;
因此正确的结论是①②③,故选B.
点评:此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质,难度适中.
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