题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．
（1）请直接写出点B、D的坐标：B（ ），D（ ）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求证：ED是⊙P的切线；
（4）若点M为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N的坐标，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形．
【答案】（1）（-4，0）；D（0，2
）；（2）y=-
x2-
x+
；(3)证明见解析；（4）点N的坐标为（-5，
）、（3，
）、（-3，-
）．
【解析】
试题分析：（1）先确定B（-4，0），再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2
，可得D（0，2）；
（2）利用交点式，待定系数法可求抛物线的解析式；
（3）先计算出CD=2OC=4，再根据平行四边形的性质，结合相似三角形的判定可得△AED∽△COD，根据相似三角形的性质和圆周角定理得到CD为⊙P的直径，于是根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线；
（4）利用配方得到y=-
（x+1）2+
，根据平行四边形的性质和点平移的规律，利用分类讨论的方法确定N点坐标．
试题解析：（1）∵C（2，0），BC=6，
∴B（-4，0），
在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=
，
∴OD=2tan60°=
，
∴D（0，）．
（2）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），
把D（0，）代入得a×4×（-2）=，解得a=-
，
∴抛物线的解析式为y=-（x+4）（x-2）=-x2-
x+；
（3）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，
∵AE=3BE，
∴AE=3，
∴
,
，
∴
，
∵∠DAE=∠DCB，
∴△AED∽△COD，
∴∠ADE=∠CDO，
∵∠ADE+∠ODE=90°
∴∠CDO+∠ODE=90°，
∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，
∴CD为⊙P的直径，
∴ED是⊙P的切线；
（4）存在．
∵y=-
x2-
x+=-
（x+1）2+
，
∴M（-1，
），
∵B（-4，0），D（0，），
如图2，
当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移个单位得到点B，则点M（-1，
）向左平移4个单位，再向下平移个单位得到点N1（-5，
）；
当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移
个单位得到点M，则点D（0，）向右平移3个单位，再向上平移
个单位得到点N2（3，
）；
当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移
个单位得到点B，则点D（0，）向右平移3个单位，再向下平移
个单位得到点N3（-3，-
），
综上所述，点N的坐标为（-5，
）、（3，
）、（-3，-
）．
