题目内容
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示．（1）如图，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60度．求证：a2=b（b+c）．
（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC，其中∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论．
（3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数．
【答案】分析：（1）根据已知可求得各角的度数，再根据三角函数求得各边的关系，从而不难得到结论．
（2）根据已知表示各角的度数，再根据正弦定理对式子进行整理，从而得到结论；
（3）注意分三种情况进行分析．
解答：（1）证明：∵∠A=2∠B，∠A=60°
∴∠B=30°，∠C=90°
∴c=2b，a=
b
∴a2=3b2=b（b+c）
（2）解：关系式a2=b（b+c）仍然成立．
法一：证明：∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得
即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴b（b+c）=2RsinB（2RsinB+2RsinC）
=4R2sinB[sinB+sin（180°-3∠B）]
=4R2sinB（sinB+sin3∠B）
=4R2sinB（2sin2BcosB）
=4R2sin2B×sin2B
=4R2sin22B
又∵a2=4R2sin2A=4R2sin22B
∴a2=b（b+c）
（3）解：若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，应有a2=b（b+c），且a＞b．
当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1，（n为大于1的正整数）
代入a2=b（b+c），得（n+1）2=（n-1）•（2n-1），解得n=5，
有a=6，b=4，c=5，可以证明这个三角形中，∠A=2∠B
当c＞a＞b及a＞b＞c时，
均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形．
边长为4，5，6的三角形为所求．
点评：此题主要考查了直角三角形的判定，勾股定理及正弦定理等知识点的综合运用．
（2）根据已知表示各角的度数，再根据正弦定理对式子进行整理，从而得到结论；
（3）注意分三种情况进行分析．
解答：（1）证明：∵∠A=2∠B，∠A=60°
∴∠B=30°，∠C=90°
∴c=2b，a=
b∴a2=3b2=b（b+c）
（2）解：关系式a2=b（b+c）仍然成立．
法一：证明：∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得
即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴b（b+c）=2RsinB（2RsinB+2RsinC）
=4R2sinB[sinB+sin（180°-3∠B）]
=4R2sinB（sinB+sin3∠B）
=4R2sinB（2sin2BcosB）
=4R2sin2B×sin2B
=4R2sin22B
又∵a2=4R2sin2A=4R2sin22B
∴a2=b（b+c）
（3）解：若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，应有a2=b（b+c），且a＞b．
当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1，（n为大于1的正整数）
代入a2=b（b+c），得（n+1）2=（n-1）•（2n-1），解得n=5，
有a=6，b=4，c=5，可以证明这个三角形中，∠A=2∠B
当c＞a＞b及a＞b＞c时，
均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形．
边长为4，5，6的三角形为所求．
点评：此题主要考查了直角三角形的判定，勾股定理及正弦定理等知识点的综合运用．
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23、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
18、如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E、已知△ABC中与△ABD的周长分别为18cm和12cm，则线段AE的长等于在△ABC中，∠C=90°，BC=12，AB=13，则tanA的值是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
在△ABC中，a=
，b=
，c=2
，则最大边上的中线长为（ ）
| 2 |
| 6 |
| 2 |
A、
| ||
B、
| ||
| C、2 | ||
| D、以上都不对 |