题目内容

【题目】如图1,以AB为直径作⊙O,点C是直径AB上方半圆上的一点,连结ACBC,过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点DAB的平行线交CB的延长线于点E

1)如图1,连结AD,求证:∠ADC=∠DEC

2)若⊙O的半径为5,求CACE的最大值.

3)如图2,连结AE,设tanABCxtanAECy

①求y关于x的函数解析式;

②若,求y的值.

【答案】1)详见解析;(2100;(3)①y;y

【解析】

1)根据ABDE,可得∠ABC=∠E,又由同圆中同弧所对圆周角相等可得∠ADC=∠E

(2)先找出△ADC∽△DEC,即可得到CD2CACE,再根据圆的半径为5可知最大为CD=5,即CACE=100

(3)①由(2)的相似可得ytanAEC,再过点DDFCE,设EFa,∴CFDFaxCDax,代入y即可得到y

②根据=,得到94,即xy94,代入y的表达式即可求出结果.

1)证明:∵ABDE

∴∠ABC=∠E

∵∠ADC=∠ABC

∴∠ADC=∠E

2)解:∵CD平分∠ACB

∴∠ACD=∠DCE

又∠ADC=∠E

∴△ADC∽△DEC

CD2CACE

又∵⊙O的半径为5

CACECD2≤102100

CACE的最大值为100

3)解:①连接AD

∵△ADC∽△DEC

ytanAEC

过点DDFCE,不妨设EFa

∵∠CED=∠CBA,∠DCE45°

CFDFax

CDax

y..

②∵=

=

94

xy94

yx代入y得,

=

解得,x12x2

x2时,y

x时,y,,

y

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