题目内容
【题目】如图1,以AB为直径作⊙O,点C是直径AB上方半圆上的一点,连结AC,BC,过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E.
(1)如图1,连结AD,求证:∠ADC=∠DEC.
(2)若⊙O的半径为5,求CACE的最大值.
(3)如图2,连结AE,设tan∠ABC=x,tan∠AEC=y,
①求y关于x的函数解析式;
②若=
,求y的值.
【答案】(1)详见解析;(2)100;(3)①y=;②y=
或
.
【解析】
(1)根据AB∥DE,可得∠ABC=∠E,又由同圆中同弧所对圆周角相等可得∠ADC=∠E;
(2)先找出△ADC∽△DEC,即可得到CD2=CACE,再根据圆的半径为5可知最大为CD=5,即CACE=100;
(3)①由(2)的相似可得y=tan∠AEC=,再过点D作DF⊥CE,设EF=a,∴CF=DF=ax,CD=
ax,代入y即可得到y=
.
②根据=
,得到
=9:4,即x:y=9:4,代入y的表达式即可求出结果.
(1)证明:∵AB∥DE,
∴∠ABC=∠E,
∵∠ADC=∠ABC,
∴∠ADC=∠E;
(2)解:∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCE,
又∠ADC=∠E,
∴△ADC∽△DEC,
∴,
即CD2=CACE,
又∵⊙O的半径为5,
∴CACE=CD2≤102=100.
即CACE的最大值为100.
(3)解:①连接AD,
∵△ADC∽△DEC,,
∴y=tan∠AEC=,
过点D作DF⊥CE,不妨设EF=a,
∵∠CED=∠CBA,∠DCE=45°,
∴CF=DF=ax,
∴CD=ax,
∴y==
..
②∵=
,
∴=
,
∴=9:4,
即x:y=9:4,
将y=x代入y=
得,
=
,
解得,x1=2,x2=,
当x=2时,y=,
当x=时,y=
,,
∴y=或
.

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