题目内容

如图1，有一座抛物线型拱桥，涨潮时桥内水面宽AB为8米，落潮时水位下降5米，桥内水面宽CD为12米．

（1）建立适当的平面直角坐标系，并求此抛物线的解析式；
（2）如图2，某种货船在水面上的部分的横截面是梯形EFGH，且HE=FG，EF= $数学公式$ HE，∠GHE=45°．试问落潮时，能顺利通过拱桥的这种货船在水面上的部分最大高度是多少？

解：（1）以CD所在的直线为x轴，线段CD的中点为坐标原点，CD的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
∵AB为8米，落潮时水位下降5米，桥内水面宽CD为12米．
∴B（4，5），D（6，0）．
抛物线的解析式可设为：y=ax²+c．
由题意得： $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+9；

（2）过点作EM⊥HG于点M．
∵∠GHE=45°，∴EM=HM．
设EM=HM=h，则EH= $\text{[math]}$ HM，
∴EF= $\text{[math]}$ EH=2HM=2h，
∴G（2h，h），
∴h═- $\text{[math]}$ （2h）²+9，
解得：h₁= $\text{[math]}$ ，h₂= $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）
故落潮时，能顺利通过拱桥的这种货船在水面上的部分最大高度是 $\text{[math]}$ 米．
分析：（1）可以CD所在的直线为x轴，线段CD的中点为坐标原点，CD的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则此抛物线的对称轴为y轴，故可设抛物线的解析式为：y=ax²+c，再将B（4，5），D（6，0）代入，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；
（2）落潮时，水位在CD，此时EF落在CD上，如图，过点作EM⊥HG于点M，求出EM即可．设EM=h，则可用含h的代数式G点的坐标为（2h，h），然后把G点的坐标代入（1）中所求的解析式y=- $\text{[math]}$ x²+9中，得到关于h的方程，求解即可．
点评：本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的应用，难度中等．注意（1）中如果选取不同的坐标系，那么求得的解析式也不同，本问答案不唯一；（2）中设出EM=h，则用含h的代数式表示G点的坐标是解题的关键．