题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，且AO=4，AB=8，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒1个单位的速度运动，设动点P运动时间为t秒．在x轴上取两点M、N，使△PMN为等边三角形．
（1）直接写出A点的坐标；
（2）如图1，当等边△PMN的顶点M与原点O重合时，求PM的长；
（3）设等边△PMN的边长为a（如图2），当1≤t≤5时，求 $数学公式$ 的最大值和最小值．

解：（1）A点的坐标是（0，4）．

（2）在△AOB中，AB=8，AO=4，由勾股定理得：BO=4 $\text{[math]}$ ，
∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴∠OAB=180°-90°-30°=60°，
∵等边三角形PMN，
∴∠PMN=60°，
∴∠AOP=90°-60°=30°，
∴∠APM=180°-∠BAO-∠AOP=90°=∠AOB，
∵∠OAB=∠OAB，
∴△APO∽△AOB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴PM=2 $\text{[math]}$ ，
答：PM的长是2 $\text{[math]}$ ．

（3）∵等边三角形PMN，
∴PM=MN=PN，∠PNM=∠PMN=60°，
∵∠ABO=30°，
∴∠NPB=60°-30°=30°=∠ABO，
∴PN=BN=MN=a，
∵∠PMN=60°=∠OAB，∠ABO=∠ABO，
∴△MPB∽△AOB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：a= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t，
∴y=a²- $\text{[math]}$ t²= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t²=- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ，
∵k=- $\text{[math]}$ ＜0，
∴y随t的增大而减小，
∵1≤t≤5，
∴当t=1时，y的最大值是：y=- $\text{[math]}$ ×1+ $\text{[math]}$ =16；
当t=5时，y的最小值是：y=- $\text{[math]}$ ×5+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ；
答：当1≤t≤5时，求 $\text{[math]}$ 的最大值和最小值分别是16，- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）直接写出A坐标即可；
（2）求出△APO∽△AOB，得到比例式，代入求出即可；
（3）证BN=PN=MN=a，证△MPB∽△AOB，得到比例式，求出a= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t，代入y求出y=- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ，根据一次函数的性质求出即可．
点评：本题主要考查对一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，二次函数的最值，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键．