Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，连接BN，射线NM交BC于点D．

（1）如图1，若点A，M，N在一条直线上，

①求证：BN+CM＝AM；

②若AM＝4，BN＝，求BD的长；

（2）如图2，若AB＝4，CN＝2，将△CMN绕点C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②；（2）2.

【解析】

（1）①如图，过点C作CF⊥CN，交AN于点F，由等腰直角三角形的性质，可求∠CNM=45°，CM=MN，即可证∠FCN=∠ACB，∠CFN=∠CNF=45°，根据“SAS”可证
△ACF≌△BCN，可得AF=BN，根据等腰直角三角形的性质可得MF=MN=CM，即可证BN+CM=AM；
②由题意可求出CM=MN=，由全等三角形的性质可得∠CAF=∠CBN，即可证∠MCD=∠CBN，则CM∥BN，可得△MCD∽△NBD，根据相似三角形的性质和勾股定理可求BD的长；
（2）分∠BDH=90°，∠DHB=90°两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质可求CD的长．

证明：（1）①如图，过点C作CF⊥CN，交AN于点F，

∵△CMN是等腰直角三角形，

∴∠CNM＝45°，CM＝MN，

∵CF⊥CN，∠ACB＝90°，

∴∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°，

∴∠ACF＝∠BCN，CF＝CN，且AC＝BC，

∴△ACF≌△BCN（SAS），

∴AF＝BN，

∵CF＝CN，CM⊥MN，

∴MF＝MN＝CM，

∴AM＝AF+FM＝BN+CM

②∵AM＝4，BN＝，BN+CM＝AM，

∴CM＝MN＝，

∵△ACF≌△BCN，

∴∠CAF＝∠CBN，

∵∠CAF+∠ACF＝∠CFN＝45°，∠BCN+∠MCD＝∠MCN＝45°

∴∠CAF＝∠MCD，且∠CAF＝∠CBN，

∴∠MCD＝∠CBN

∴CM∥BN

∴△MCD∽△NBD，∠CMD＝∠BND＝90°

∴＝

∴MD＝ND

∵MD+ND＝MN＝

∴ND＝

在Rt△DNB中，BD＝＝

（2）若∠BDH＝90°，如图，此时点M与点D重合，

∵△CMN是等腰直角三角形，CN＝2

∴CM＝MN＝

∴CD＝，

若∠BHD＝90°，如图，

∵∠BHD＝90°，∠B＝45°，

∴∠BDH＝45°

∴∠CDN＝45°＝∠N

∴CD＝CN＝2．