题目内容

【题目】如图,⊙O是锐角ABC的外接圆,FH是⊙O的切线,切点为FFHBC,连结AFBCE,∠ABC的平分线BDAFD,连结BF.下列结论:①AF平分∠BAC;②点FBDC的外心;③;④若点MN分别是ABAF上的动点,则BN+MN的最小值是ABsinBAC.其中一定正确的是_____(把你认为正确结论的序号都填上).

【答案】①②③④

【解析】

如图1,连接OFCF,通过切线的性质证OFFH,进而由FHBC,得OFBC,即可由垂径定理得到F是弧BC的中点,根据圆周角定理可得∠BAF=∠CAF,可得AF平分∠BAC;由三角形外角性质和同弧所对的圆周角相等可得∠BDF=∠FBD,可得BFDFCF,可得点FBDC的外心;如图2,过点CCGAB,交AF的延长线于点G,通过证明BAE∽△CGE,可得,即可判断③;如图3,作点M关于AF的对称点M',当点N在线段BM'上,且BM'AC时,BN+MN有最小值为BM',即可判断④.

解:如图1,连接OFCF

FH是⊙O的切线,

OFFH

FHBC

OFBC,且OF为半径,

OF垂直平分BC

∴∠1=∠2BFCF

AF平分∠BAC,故①正确,

∵∠1=∠2,∠4=∠3,∠5=∠2

∴∠1+4=∠2+3

∴∠1+4=∠5+3

∵∠1+4=∠BDF,∠5+3=∠FBD

∴∠BDF=∠FBD

BFFD,且BFCF

BFDFCF

∴点FBDC的外心,故②正确;

如图2,过点CCGAB,交AF的延长线于点G

CGAB

∴∠BAE=∠EGC,且∠BAE=∠CAE

∴∠CAE=∠CGE

ACCG

CGAB

∴△BAE∽△CGE

故③正确;

如图3,作点M关于AF的对称点M'

∵点M与点M'关于AF对称,

MNM'N

BN+MNBN+M'N

∴当点N在线段BM'上,且BM'AC时,BN+MN有最小值为BM',且sinBAC

BN+MN最小值为ABsinBAC

故④正确,

故答案为:①②③④.

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