题目内容
【题目】如图,⊙O是锐角△ABC的外接圆,FH是⊙O的切线,切点为F,FH∥BC,连结AF交BC于E,∠ABC的平分线BD交AF于D,连结BF.下列结论:①AF平分∠BAC;②点F为△BDC的外心;③;④若点M,N分别是AB和AF上的动点,则BN+MN的最小值是ABsin∠BAC.其中一定正确的是_____(把你认为正确结论的序号都填上).
【答案】①②③④
【解析】
如图1,连接OF,CF,通过切线的性质证OF⊥FH,进而由FH∥BC,得OF⊥BC,即可由垂径定理得到F是弧BC的中点,根据圆周角定理可得∠BAF=∠CAF,可得AF平分∠BAC;由三角形外角性质和同弧所对的圆周角相等可得∠BDF=∠FBD,可得BF=DF=CF,可得点F为△BDC的外心;如图2,过点C作CG∥AB,交AF的延长线于点G,通过证明△BAE∽△CGE,可得,即可判断③;如图3,作点M关于AF的对称点M',当点N在线段BM'上,且BM'⊥AC时,BN+MN有最小值为BM',即可判断④.
解:如图1,连接OF,CF,
∵FH是⊙O的切线,
∴OF⊥FH,
∵FH∥BC,
∴OF⊥BC,且OF为半径,
∴OF垂直平分BC,
∴=
,
∴∠1=∠2,BF=CF,
∴AF平分∠BAC,故①正确,
∵∠1=∠2,∠4=∠3,∠5=∠2,
∴∠1+∠4=∠2+∠3,
∴∠1+∠4=∠5+∠3,
∵∠1+∠4=∠BDF,∠5+∠3=∠FBD,
∴∠BDF=∠FBD,
∴BF=FD,且BF=CF,
∴BF=DF=CF,
∴点F为△BDC的外心,故②正确;
如图2,过点C作CG∥AB,交AF的延长线于点G,
∵CG∥AB,
∴∠BAE=∠EGC,且∠BAE=∠CAE,
∴∠CAE=∠CGE,
∴AC=CG,
∵CG∥AB,
∴△BAE∽△CGE,
∴,
∴=
=
,
故③正确;
如图3,作点M关于AF的对称点M',
∵点M与点M'关于AF对称,
∴MN=M'N,
∴BN+MN=BN+M'N,
∴当点N在线段BM'上,且BM'⊥AC时,BN+MN有最小值为BM',且sin∠BAC=,
∴BN+MN最小值为ABsin∠BAC,
故④正确,
故答案为:①②③④.
